/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 0 1 2 0 0 3 3 1 2 2 1 1 2 2 3 1 ⟶ 0 3 0 1 2 3 2 2 0 0 1 2 2 3 1 1 0 1 , 0 0 0 3 3 1 3 0 2 3 1 1 2 2 2 0 2 0 ⟶ 0 1 0 0 0 1 2 3 2 1 3 3 2 0 2 3 2 0 , 0 0 1 0 1 3 2 3 3 2 1 0 1 0 2 2 1 0 ⟶ 0 3 1 1 3 2 2 3 2 0 0 0 0 1 1 2 1 0 , 0 1 0 1 0 2 2 0 0 1 3 1 2 3 0 2 2 2 ⟶ 0 1 0 1 1 2 3 1 2 0 0 2 2 3 0 2 0 2 , 0 1 0 1 3 1 3 0 1 2 3 0 0 3 1 3 1 1 ⟶ 0 1 1 3 2 3 0 3 1 1 0 0 3 1 0 3 1 1 , 0 1 0 2 0 0 0 3 3 0 1 1 2 2 0 0 0 0 ⟶ 0 1 0 1 3 3 0 2 0 2 0 0 1 0 2 0 0 0 , 0 1 3 2 2 1 3 1 0 3 1 2 0 0 0 1 0 2 ⟶ 0 1 3 0 2 0 3 0 1 2 2 1 1 1 3 0 0 2 , 0 1 3 3 0 3 0 2 3 2 2 1 1 2 1 2 2 2 ⟶ 1 2 3 1 1 0 2 3 0 2 1 2 3 0 2 2 3 2 , 0 2 1 2 2 0 0 3 3 0 1 1 1 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0 2 1 0 1 2 , 2 2 2 0 2 2 2 2 1 2 0 0 1 3 1 1 2 0 ⟶ 2 1 2 0 1 2 0 2 3 2 2 2 1 1 0 2 2 0 , 2 2 2 1 0 1 3 1 2 0 1 0 1 0 2 2 0 0 ⟶ 2 3 2 1 2 0 2 0 1 2 0 1 2 1 1 0 0 0 , 2 2 2 1 2 2 3 2 3 0 1 0 0 1 3 3 0 3 ⟶ 2 3 0 3 2 1 2 1 3 2 0 2 0 0 3 2 1 3 , 2 2 2 1 3 1 2 1 0 2 2 2 0 1 0 2 2 2 ⟶ 2 2 2 2 2 2 0 2 1 2 3 1 0 1 2 1 0 2 , 2 2 2 2 0 2 0 0 1 3 0 1 3 3 1 2 1 2 ⟶ 2 2 1 1 1 2 3 0 0 3 0 3 2 1 2 2 0 2 , 2 2 2 2 3 0 2 3 1 3 3 2 2 1 1 1 0 2 ⟶ 2 2 0 1 2 2 1 3 2 3 3 1 2 3 2 0 1 2 , 2 2 2 2 3 2 0 3 3 3 3 0 2 2 3 3 0 2 ⟶ 2 3 3 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 0 0 0 2 2 , 2 2 2 3 2 3 3 3 3 2 2 0 1 0 2 1 1 2 ⟶ 2 0 1 2 3 2 1 1 3 2 0 2 3 3 2 2 3 2 , 2 2 3 1 2 0 2 1 2 2 1 0 1 3 3 1 1 0 ⟶ 2 1 1 3 2 3 2 0 2 1 2 1 1 0 0 2 3 1 , 2 3 0 2 0 0 1 3 0 0 0 1 2 0 3 2 2 2 ⟶ 2 0 0 2 0 3 1 3 1 0 0 2 2 0 3 2 0 2 , 2 3 1 0 2 2 1 2 3 0 2 1 3 1 1 3 2 2 ⟶ 2 0 2 3 2 3 1 1 3 2 1 3 2 1 0 1 2 2 , 2 3 3 0 0 1 0 0 0 0 2 1 2 2 2 1 2 2 ⟶ 2 2 0 0 2 2 0 1 2 1 0 1 0 3 3 0 2 2 , 2 3 3 1 0 2 2 0 3 2 2 1 3 2 1 2 0 2 ⟶ 2 3 2 2 2 0 1 1 3 3 2 1 3 2 0 2 0 2 , 3 0 0 0 0 0 2 2 1 2 0 1 1 2 1 1 2 2 ⟶ 0 2 0 0 2 1 1 1 2 0 2 1 3 1 0 0 2 2 , 3 0 0 1 3 0 2 2 1 0 2 0 1 3 1 3 2 2 ⟶ 3 0 2 0 2 0 0 2 1 1 2 3 3 1 0 3 1 2 , 3 0 3 1 2 2 2 2 1 2 1 0 3 0 1 0 3 0 ⟶ 3 0 1 2 0 0 2 3 0 1 3 0 2 3 1 1 2 2 , 3 1 0 2 2 2 3 0 2 0 2 2 2 2 3 3 0 2 ⟶ 3 2 3 2 3 2 0 1 2 2 3 2 0 0 0 2 2 2 , 3 1 0 3 2 0 3 3 3 3 3 3 2 2 1 2 1 3 ⟶ 3 2 3 0 3 2 1 0 1 3 3 2 3 3 3 2 1 3 , 3 1 0 3 2 1 2 2 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 ⟶ 0 2 3 2 3 2 0 0 1 0 0 2 0 3 0 1 0 0 , 3 1 2 2 0 3 0 0 1 1 0 0 3 0 1 0 3 1 ⟶ 3 3 2 3 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 1 , 3 1 2 2 2 1 0 2 3 1 0 0 0 0 2 2 1 1 ⟶ 0 2 3 1 2 2 1 0 0 1 0 0 2 2 3 2 1 1 , 3 1 3 1 3 2 2 2 2 3 3 3 1 3 2 2 0 0 ⟶ 3 2 3 3 2 0 2 1 2 1 3 2 2 1 3 3 3 0 , 3 1 3 3 2 2 3 1 2 3 3 1 2 1 3 3 3 1 ⟶ 3 3 3 2 1 3 3 1 1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 , 3 1 3 3 3 3 3 0 3 3 1 2 3 1 2 1 2 2 ⟶ 3 3 3 0 2 3 1 2 3 3 1 3 1 1 3 2 3 2 , 3 2 1 1 2 3 3 0 3 1 3 1 3 0 0 2 3 3 ⟶ 3 2 3 1 3 0 3 3 2 3 1 0 1 0 2 1 3 3 , 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 0 3 2 2 2 0 2 ⟶ 3 2 2 3 1 0 2 2 2 2 3 2 0 2 3 2 2 2 , 3 2 3 0 3 0 0 3 1 3 0 1 0 2 2 2 1 2 ⟶ 1 1 0 0 2 3 2 3 0 2 0 0 2 3 1 3 3 2 , 3 3 0 0 1 3 0 2 2 1 0 3 3 3 0 1 3 0 ⟶ 0 1 0 1 3 2 3 1 0 0 2 3 3 0 3 3 3 0 , 3 3 3 0 2 2 0 1 3 3 1 2 0 1 0 2 1 2 ⟶ 3 3 1 3 0 3 2 0 1 2 1 3 2 1 2 0 0 2 , 3 3 3 1 2 3 1 2 1 1 0 2 2 2 1 3 2 1 ⟶ 3 3 2 3 1 2 3 1 1 0 1 2 2 2 1 3 2 1 , 3 3 3 2 2 1 0 0 2 2 3 0 3 3 3 1 3 0 ⟶ 3 3 1 3 2 0 2 3 0 0 1 2 3 2 3 3 3 0 , 3 3 3 3 3 1 3 1 1 3 0 2 0 2 1 0 1 3 ⟶ 3 3 0 3 3 1 1 2 3 3 1 3 0 2 1 0 1 3 } The system was reversed. After renaming modulo the bijection { 1 ↦ 0, 3 ↦ 1, 2 ↦ 2, 0 ↦ 3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 1 2 2 0 0 2 2 0 1 1 3 3 2 0 3 3 3 ⟶ 0 3 0 0 1 2 2 0 3 3 2 2 1 2 0 3 1 3 , 3 2 3 2 2 2 0 0 1 2 3 1 0 1 1 3 3 3 ⟶ 3 2 1 2 3 2 1 1 0 2 1 2 0 3 3 3 0 3 , 3 0 2 2 3 0 3 0 2 1 1 2 1 0 3 0 3 3 ⟶ 3 0 2 0 0 3 3 3 3 2 1 2 2 1 0 0 1 3 , 2 2 2 3 1 2 0 1 0 3 3 2 2 3 0 3 0 3 ⟶ 2 3 2 3 1 2 2 3 3 2 0 1 2 0 0 3 0 3 , 0 0 1 0 1 3 3 1 2 0 3 1 0 1 0 3 0 3 ⟶ 0 0 1 3 0 1 3 3 0 0 1 3 1 2 1 0 0 3 , 3 3 3 3 2 2 0 0 3 1 1 3 3 3 2 3 0 3 ⟶ 3 3 3 2 3 0 3 3 2 3 2 3 1 1 0 3 0 3 , 2 3 0 3 3 3 2 0 1 3 0 1 0 2 2 1 0 3 ⟶ 2 3 3 1 0 0 0 2 2 0 3 1 3 2 3 1 0 3 , 2 2 2 0 2 0 0 2 2 1 2 3 1 3 1 1 0 3 ⟶ 2 1 2 2 3 1 2 0 2 3 1 2 3 0 0 1 2 0 , 2 3 3 0 3 0 0 0 3 1 1 3 3 2 2 0 2 3 ⟶ 2 3 3 1 0 2 0 3 3 1 0 3 2 0 3 0 2 3 , 1 2 1 3 3 1 0 1 1 1 0 3 2 1 0 2 2 3 ⟶ 1 2 3 1 3 1 0 1 2 0 0 3 1 2 1 1 2 3 , 0 3 1 3 3 2 0 3 1 0 3 0 2 3 1 2 2 3 ⟶ 0 0 0 3 3 2 3 3 3 3 2 1 0 1 2 1 2 3 , 1 3 0 0 2 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 2 2 3 ⟶ 1 0 2 1 0 0 3 0 0 1 0 1 2 1 2 1 1 3 , 2 3 0 2 0 2 1 1 2 0 1 0 3 3 3 3 1 3 ⟶ 2 3 3 2 3 3 0 3 0 0 2 1 2 1 1 3 0 1 , 0 0 1 1 3 3 3 3 3 2 0 1 0 1 0 0 1 3 ⟶ 0 0 3 3 0 1 0 3 3 2 1 1 0 0 3 3 1 1 , 0 1 2 2 0 0 1 0 1 0 3 0 0 2 1 0 1 3 ⟶ 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 3 0 1 , 0 0 1 0 2 3 3 1 3 0 2 0 3 1 3 1 1 3 ⟶ 0 0 1 0 0 3 3 1 2 1 1 1 2 3 3 0 3 3 , 3 1 3 1 1 3 0 2 2 1 3 0 3 0 1 1 1 3 ⟶ 3 1 1 3 2 1 3 0 3 3 2 1 0 1 1 0 3 1 , 1 1 2 2 0 1 3 1 1 3 0 2 3 0 1 1 1 3 ⟶ 1 1 0 0 1 3 1 1 2 1 1 1 2 0 3 3 2 3 , 0 2 2 3 1 0 3 3 1 0 2 1 3 1 1 1 1 3 ⟶ 0 1 2 1 2 3 1 2 1 3 3 3 0 0 1 1 1 3 , 3 1 1 1 2 2 2 1 3 1 2 3 0 0 0 3 3 0 ⟶ 3 3 1 0 0 2 0 0 3 3 2 1 1 2 1 2 1 3 , 1 2 1 3 1 0 3 2 2 2 1 3 0 3 2 3 3 0 ⟶ 1 2 1 2 3 3 3 2 1 2 3 3 0 0 3 2 0 1 , 2 0 0 3 1 1 0 0 1 3 0 2 2 3 3 2 3 0 ⟶ 2 3 1 1 0 0 2 0 0 0 0 3 3 2 3 1 2 3 , 0 3 2 0 2 0 2 0 2 1 1 3 3 0 3 2 3 0 ⟶ 0 3 0 2 3 0 1 2 3 3 2 1 2 0 3 0 2 0 , 3 0 3 0 1 3 0 1 3 0 2 2 0 0 3 2 3 0 ⟶ 3 0 0 1 3 3 0 1 3 2 0 3 0 2 3 2 0 0 , 2 2 2 2 2 0 1 3 0 1 1 1 1 0 3 2 3 0 ⟶ 2 1 0 1 2 1 3 2 3 2 1 3 1 2 0 0 2 0 , 1 3 2 0 1 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 0 ⟶ 1 3 2 3 3 2 1 2 2 0 2 3 2 2 2 2 3 0 , 0 0 0 1 0 3 1 1 3 0 0 0 3 2 2 2 3 0 ⟶ 0 0 0 3 0 0 2 3 1 2 1 0 0 3 3 0 1 2 , 0 2 1 3 0 3 0 3 0 0 2 2 2 0 3 1 3 0 ⟶ 0 2 0 1 1 2 3 3 2 0 0 0 3 0 2 0 3 3 , 1 2 0 0 1 1 2 2 2 0 1 3 3 1 3 1 3 0 ⟶ 1 2 1 3 1 0 3 2 2 3 1 0 0 0 3 2 1 1 , 2 3 1 2 2 2 0 3 3 0 2 0 1 2 2 1 3 0 ⟶ 2 1 0 3 2 1 3 2 1 2 0 2 2 3 3 2 0 0 , 2 3 2 3 2 1 2 2 1 0 1 3 1 1 3 3 0 0 ⟶ 2 3 1 1 3 2 1 0 3 2 0 3 1 3 2 1 2 0 , 2 2 1 1 3 1 0 1 3 3 1 2 3 0 2 1 0 0 ⟶ 2 2 1 3 3 2 1 1 0 1 1 0 3 0 3 2 1 0 , 2 1 0 1 2 3 1 0 0 2 2 1 0 3 0 2 2 0 ⟶ 2 1 2 2 3 0 1 3 2 0 0 2 0 1 2 1 0 0 , 2 0 0 3 3 3 1 2 3 0 2 0 3 1 2 2 2 0 ⟶ 2 3 1 3 2 0 0 2 0 3 2 1 2 3 3 2 0 0 , 3 1 3 3 2 1 3 2 0 2 0 1 0 3 1 2 2 0 ⟶ 3 3 3 3 1 2 1 2 3 2 1 1 2 0 0 0 2 0 , 3 0 3 0 2 1 3 2 3 3 0 3 0 2 2 2 1 0 ⟶ 3 0 0 3 2 0 3 2 1 2 0 2 3 2 3 1 3 0 , 2 2 0 1 3 0 0 3 3 1 2 0 2 0 1 2 1 0 ⟶ 2 2 0 0 1 3 1 2 3 3 0 1 2 0 0 2 1 0 , 2 2 1 0 1 3 0 2 2 0 0 3 2 2 2 3 3 2 ⟶ 2 2 1 2 2 3 2 2 0 3 0 0 1 0 2 3 3 2 , 1 3 1 1 0 1 1 3 3 1 1 3 0 2 3 2 3 2 ⟶ 1 0 1 3 1 1 3 2 1 2 1 3 1 0 3 3 3 2 , 2 0 2 2 3 0 2 2 3 3 0 1 3 0 0 2 3 2 ⟶ 2 0 1 3 0 0 3 2 0 2 2 3 2 3 2 0 3 2 , 3 3 1 3 3 3 1 2 0 3 2 3 2 2 2 2 3 2 ⟶ 3 2 2 3 3 0 2 3 2 3 2 1 3 2 3 3 1 2 , 1 2 0 1 3 1 2 1 0 0 2 2 1 0 0 3 0 2 ⟶ 1 2 0 2 1 0 0 0 3 2 0 0 1 2 3 1 1 2 , 3 1 0 2 0 2 2 2 0 1 3 3 2 0 2 3 0 2 ⟶ 3 2 3 1 2 0 2 0 2 3 2 0 2 3 0 1 0 2 , 2 2 1 0 2 1 3 3 1 2 3 0 2 2 2 0 0 2 ⟶ 2 2 1 0 1 0 3 0 2 2 0 2 2 1 2 3 3 2 , 3 3 1 1 0 2 3 0 2 2 0 0 0 0 3 2 0 2 ⟶ 3 0 1 2 0 0 2 3 0 0 3 2 2 1 0 0 3 2 , 2 0 3 1 2 2 3 1 1 1 1 1 3 2 2 3 2 2 ⟶ 2 3 1 1 2 1 2 1 3 2 0 3 2 2 1 3 1 2 , 0 2 1 1 0 3 1 1 1 3 2 1 2 0 0 0 2 2 ⟶ 0 2 1 1 0 1 0 2 1 2 0 3 1 1 2 0 3 2 , 2 0 3 3 0 2 3 1 0 0 3 1 0 2 2 0 2 2 ⟶ 2 0 3 0 2 3 0 2 1 0 3 3 2 2 0 1 0 2 , 3 2 0 0 1 0 3 3 2 0 2 2 2 2 3 2 2 2 ⟶ 3 2 2 3 0 0 2 2 2 1 2 3 2 0 3 2 0 2 , 3 3 2 2 3 0 3 0 3 2 0 1 0 3 0 2 2 2 ⟶ 3 3 3 0 0 2 0 3 2 0 3 2 3 2 0 2 1 2 , 1 3 1 1 0 3 3 0 3 1 2 1 2 2 0 2 2 2 ⟶ 1 0 2 1 3 3 2 3 2 1 0 2 0 2 1 3 1 2 , 2 2 2 3 0 3 2 2 2 3 0 2 0 1 0 2 2 2 ⟶ 2 3 0 2 0 3 0 1 2 0 2 3 2 2 2 2 2 2 , 2 0 2 0 1 1 0 3 1 0 3 3 2 3 2 2 2 2 ⟶ 2 3 2 2 0 2 1 3 1 3 3 1 2 0 0 0 2 2 , 2 3 0 0 0 2 2 1 1 0 1 2 3 1 2 2 2 2 ⟶ 2 0 3 2 1 2 0 1 1 2 1 0 2 2 0 3 2 2 , 2 3 1 1 2 2 3 1 1 1 1 3 2 1 2 2 2 2 ⟶ 2 2 3 3 3 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 , 2 0 0 2 3 0 3 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 ⟶ 2 1 2 2 1 1 2 3 2 1 0 0 2 1 2 0 3 2 , 3 0 0 1 1 0 3 0 2 2 0 2 3 2 0 1 2 2 ⟶ 0 1 2 3 3 0 0 2 0 2 3 2 1 2 1 0 0 2 , 2 2 2 1 3 2 0 3 3 3 1 0 3 3 2 3 1 2 ⟶ 2 3 2 1 3 2 2 3 3 0 1 0 1 3 2 3 3 2 , 2 2 1 0 0 1 0 2 3 1 2 0 2 2 3 0 1 2 ⟶ 2 2 0 3 0 2 1 0 2 1 0 0 1 2 1 2 3 2 , 2 2 0 2 2 2 0 2 3 3 3 3 0 3 3 1 1 2 ⟶ 2 2 3 1 1 3 0 3 0 2 0 3 2 2 3 3 2 2 , 2 3 2 0 2 1 0 2 2 1 3 2 2 3 0 1 1 2 ⟶ 2 3 2 3 2 1 0 2 1 1 0 0 3 2 2 2 1 2 , 2 2 0 0 2 0 0 3 2 0 2 2 3 3 3 3 3 1 ⟶ 2 2 3 3 0 1 0 2 3 2 0 0 0 2 3 3 2 3 , 2 2 1 0 1 0 3 2 3 0 2 2 3 1 0 3 3 1 ⟶ 2 0 1 3 0 1 1 2 0 0 2 3 3 2 3 2 3 1 , 3 1 3 0 3 1 3 0 2 0 2 2 2 2 0 1 3 1 ⟶ 2 2 0 0 1 2 3 1 0 3 1 2 3 3 2 0 3 1 , 2 3 1 1 2 2 2 2 3 2 3 1 2 2 2 3 0 1 ⟶ 2 2 2 3 3 3 2 1 2 2 0 3 2 1 2 1 2 1 , 1 0 2 0 2 2 1 1 1 1 1 1 3 2 1 3 0 1 ⟶ 1 0 2 1 1 1 2 1 1 0 3 0 2 1 3 1 2 1 , 3 3 3 3 1 3 3 3 2 3 2 2 0 2 1 3 0 1 ⟶ 3 3 0 3 1 3 2 3 3 0 3 3 2 1 2 1 2 3 , 0 1 3 0 3 1 3 3 0 0 3 3 1 3 2 2 0 1 ⟶ 0 1 0 3 3 3 3 0 3 3 3 0 0 2 1 2 1 1 , 0 0 2 2 3 3 3 3 0 1 2 3 0 2 2 2 0 1 ⟶ 0 0 2 1 2 2 3 3 0 3 3 0 2 2 0 1 2 3 , 3 3 2 2 1 0 1 1 1 2 2 2 2 1 0 1 0 1 ⟶ 3 1 1 1 0 2 2 1 0 2 0 2 3 2 1 1 2 1 , 0 1 1 1 0 2 0 1 1 2 0 1 2 2 1 1 0 1 ⟶ 0 0 1 2 1 1 2 1 2 0 0 1 1 0 2 1 1 1 , 2 2 0 2 0 1 2 0 1 1 3 1 1 1 1 1 0 1 ⟶ 2 1 2 1 0 0 1 0 1 1 2 0 1 2 3 1 1 1 , 1 1 2 3 3 1 0 1 0 1 3 1 1 2 0 0 2 1 ⟶ 1 1 0 2 3 0 3 0 1 2 1 1 3 1 0 1 2 1 , 2 3 2 2 2 1 3 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 ⟶ 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 3 0 1 2 2 1 , 2 0 2 2 2 3 0 3 1 0 1 3 3 1 3 1 2 1 ⟶ 2 1 1 0 1 2 3 3 2 3 1 2 1 2 3 3 0 0 , 3 1 0 3 1 1 1 3 0 2 2 3 1 0 3 3 1 1 ⟶ 3 1 1 1 3 1 1 2 3 3 0 1 2 1 0 3 0 3 , 2 0 2 3 0 3 2 0 1 1 0 3 2 2 3 1 1 1 ⟶ 2 3 3 2 0 2 1 0 2 0 3 2 1 3 1 0 1 1 , 0 2 1 0 2 2 2 3 0 0 2 0 1 2 0 1 1 1 ⟶ 0 2 1 0 2 2 2 0 3 0 0 1 2 0 1 2 1 1 , 3 1 0 1 1 1 3 1 2 2 3 3 0 2 2 1 1 1 ⟶ 3 1 1 1 2 1 2 0 3 3 1 2 3 2 1 0 1 1 , 1 0 3 0 2 3 2 3 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 ⟶ 1 0 3 0 2 3 1 0 1 1 2 0 0 1 1 3 1 1 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,2) ↦ 2, (2,2) ↦ 3, (2,0) ↦ 4, (0,2) ↦ 5, (1,1) ↦ 6, (1,3) ↦ 7, (3,3) ↦ 8, (3,2) ↦ 9, (0,3) ↦ 10, (3,0) ↦ 11, (2,1) ↦ 12, (3,1) ↦ 13, (3,5) ↦ 14, (1,0) ↦ 15, (4,0) ↦ 16, (2,3) ↦ 17, (4,3) ↦ 18, (4,2) ↦ 19, (0,5) ↦ 20, (4,1) ↦ 21, (1,5) ↦ 22, (2,5) ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 11 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 11 , 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 13 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 13 , 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 9 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 9 , 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 8 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 8 , 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 14 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 14 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 11 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 11 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 13 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 13 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 9 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 9 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 8 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 8 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 14 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 14 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 11 ⟶ 4 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 11 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 13 ⟶ 4 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 13 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 9 ⟶ 4 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 9 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 8 ⟶ 4 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 8 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 14 ⟶ 4 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 14 , 11 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 11 ⟶ 11 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 11 , 11 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 13 ⟶ 11 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 13 , 11 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 9 ⟶ 11 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 9 , 11 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 8 ⟶ 11 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 8 , 11 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 14 ⟶ 11 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 14 , 16 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 11 ⟶ 16 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 11 , 16 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 13 ⟶ 16 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 13 , 16 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 9 ⟶ 16 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 9 , 16 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 8 ⟶ 16 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 8 , 16 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 14 ⟶ 16 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 14 , 10 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 11 ⟶ 10 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 11 , 10 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 13 ⟶ 10 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 13 , 10 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 9 ⟶ 10 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 9 , 10 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 8 ⟶ 10 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 8 , 10 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 14 ⟶ 10 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 14 , 7 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 11 ⟶ 7 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 11 , 7 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 13 ⟶ 7 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 13 , 7 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 9 ⟶ 7 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 9 , 7 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 8 ⟶ 7 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 8 , 7 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 14 ⟶ 7 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 14 , 17 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 11 ⟶ 17 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 11 , 17 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 13 ⟶ 17 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 13 , 17 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 9 ⟶ 17 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 9 , 17 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 8 ⟶ 17 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 8 , 17 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 14 ⟶ 17 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 14 , 8 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 11 ⟶ 8 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 11 , 8 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 13 ⟶ 8 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 13 , 8 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 9 ⟶ 8 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 9 , 8 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 8 ⟶ 8 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 8 , 8 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 14 ⟶ 8 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 14 , 18 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 11 ⟶ 18 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 11 , 18 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 13 ⟶ 18 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 13 , 18 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 9 ⟶ 18 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 9 , 18 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 8 ⟶ 18 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 8 , 18 9 17 9 3 3 4 0 1 2 17 13 15 1 6 7 8 8 14 ⟶ 18 9 12 2 17 9 12 6 15 5 12 2 4 10 8 8 11 10 14 , 10 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 11 ⟶ 10 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 11 , 10 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 13 ⟶ 10 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 13 , 10 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 9 ⟶ 10 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 9 , 10 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 8 ⟶ 10 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 8 , 10 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 14 ⟶ 10 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 14 , 7 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 11 ⟶ 7 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 11 , 7 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 13 ⟶ 7 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 13 , 7 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 9 ⟶ 7 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 9 , 7 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 8 ⟶ 7 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 8 , 7 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 14 ⟶ 7 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 14 , 17 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 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5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 7 ⟶ 6 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 7 , 6 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 22 ⟶ 6 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 22 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 15 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 15 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 6 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 6 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 2 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 2 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 7 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 7 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 22 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 22 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 15 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 15 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 6 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 6 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 2 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 2 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 7 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 7 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 22 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 22 , 21 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 15 ⟶ 21 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 15 , 21 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 6 ⟶ 21 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 6 , 21 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 2 ⟶ 21 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 2 , 21 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 7 ⟶ 21 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 7 , 21 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 22 ⟶ 21 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 22 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 1985-rule system { 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 11 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 11 , 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 13 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 13 , 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 9 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 9 , 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 8 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 8 , 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 14 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 14 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 11 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 11 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 13 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 13 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 9 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 9 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 8 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 8 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 14 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 14 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 11 ⟶ 4 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 11 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 13 ⟶ 4 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 13 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 9 ⟶ 4 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 9 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 8 ⟶ 4 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 8 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 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2 ⟶ 10 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 2 , 10 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 7 ⟶ 10 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 7 , 10 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 22 ⟶ 10 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 22 , 7 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 15 ⟶ 7 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 15 , 7 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 6 ⟶ 7 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 6 , 7 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 2 ⟶ 7 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 2 , 7 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 7 ⟶ 7 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 7 , 7 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 22 ⟶ 7 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 22 , 17 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 15 ⟶ 17 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 15 , 17 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 6 ⟶ 17 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 6 , 17 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 2 ⟶ 17 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 2 , 17 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 7 ⟶ 17 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 7 , 17 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 22 ⟶ 17 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 22 , 8 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 15 ⟶ 8 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 15 , 8 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 6 ⟶ 8 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 6 , 8 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 2 ⟶ 8 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 2 , 8 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 7 ⟶ 8 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 7 , 8 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 22 ⟶ 8 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 22 , 18 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 15 ⟶ 18 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 15 , 18 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 6 ⟶ 18 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 6 , 18 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 2 ⟶ 18 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 2 , 18 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 7 ⟶ 18 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 7 , 18 13 15 1 6 6 7 13 2 3 17 8 11 5 3 12 6 6 22 ⟶ 18 13 6 6 2 12 2 4 10 8 13 2 17 9 12 15 1 6 22 , 1 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 15 ⟶ 1 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 15 , 1 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 6 ⟶ 1 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 6 , 1 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 2 ⟶ 1 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 2 , 1 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 7 ⟶ 1 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 7 , 1 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 22 ⟶ 1 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 22 , 6 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 15 ⟶ 6 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 15 , 6 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 6 ⟶ 6 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 6 , 6 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 2 ⟶ 6 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 2 , 6 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 7 ⟶ 6 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 7 , 6 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 22 ⟶ 6 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 22 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 15 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 15 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 6 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 6 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 2 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 2 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 7 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 7 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 22 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 22 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 15 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 15 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 6 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 6 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 2 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 2 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 7 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 7 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 22 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 22 , 21 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 15 ⟶ 21 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 15 , 21 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 6 ⟶ 21 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 6 , 21 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 2 ⟶ 21 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 2 , 21 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 7 ⟶ 21 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 7 , 21 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 22 ⟶ 21 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 22 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 22 ↦ 20, 20 ↦ 21, 21 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 475-rule system { 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 11 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 11 , 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 13 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 13 , 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 9 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 9 , 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 8 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 8 , 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 14 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 14 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 11 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 11 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 13 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 13 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 9 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 9 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 8 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 8 , 15 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 14 ⟶ 15 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 14 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 11 ⟶ 4 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 11 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 13 ⟶ 4 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 13 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 9 ⟶ 4 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 9 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 8 ⟶ 4 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 8 , 4 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 14 ⟶ 4 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 14 , 11 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 11 ⟶ 11 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 11 , 11 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 13 ⟶ 11 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 13 , 11 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 9 ⟶ 11 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 9 , 11 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 8 ⟶ 11 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 8 , 11 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 14 ⟶ 11 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 14 , 16 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 11 ⟶ 16 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 11 , 16 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 13 ⟶ 16 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 13 , 16 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 9 ⟶ 16 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 9 , 16 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 8 ⟶ 16 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 8 , 16 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 14 ⟶ 16 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 14 , 10 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 11 ⟶ 10 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 11 , 10 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 13 ⟶ 10 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 13 , 10 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 9 ⟶ 10 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 9 , 10 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 8 ⟶ 10 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 8 , 10 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 14 ⟶ 10 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 14 , 7 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 11 ⟶ 7 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 11 , 7 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 13 ⟶ 7 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 13 , 7 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 9 ⟶ 7 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 9 , 7 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 8 ⟶ 7 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 8 , 7 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 14 ⟶ 7 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 14 , 17 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 11 ⟶ 17 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 11 , 17 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 13 ⟶ 17 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 13 , 17 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 9 ⟶ 17 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 9 , 17 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 8 ⟶ 17 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 8 , 17 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 14 ⟶ 17 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 14 , 8 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 11 ⟶ 8 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 11 , 8 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 13 ⟶ 8 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 13 , 8 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 9 ⟶ 8 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 9 , 8 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 8 ⟶ 8 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 8 , 8 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 14 ⟶ 8 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 14 , 18 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 11 ⟶ 18 11 5 4 0 10 8 8 8 9 12 2 3 12 15 0 1 7 11 , 18 11 5 3 17 11 10 11 5 12 6 2 12 15 10 11 10 8 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2 12 6 6 , 16 5 12 15 5 3 3 17 11 0 5 4 1 2 4 1 6 6 2 ⟶ 16 5 12 15 5 3 3 4 10 11 0 1 2 4 1 2 12 6 2 , 16 5 12 15 5 3 3 17 11 0 5 4 1 2 4 1 6 6 7 ⟶ 16 5 12 15 5 3 3 4 10 11 0 1 2 4 1 2 12 6 7 , 16 5 12 15 5 3 3 17 11 0 5 4 1 2 4 1 6 6 20 ⟶ 16 5 12 15 5 3 3 4 10 11 0 1 2 4 1 2 12 6 20 , 1 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 15 ⟶ 1 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 15 , 1 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 6 ⟶ 1 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 6 , 1 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 2 ⟶ 1 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 2 , 1 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 7 ⟶ 1 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 7 , 1 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 20 ⟶ 1 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 20 , 6 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 15 ⟶ 6 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 15 , 6 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 6 ⟶ 6 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 6 , 6 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 2 ⟶ 6 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 2 , 6 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 7 ⟶ 6 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 7 , 6 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 20 ⟶ 6 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 20 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 15 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 15 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 6 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 6 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 2 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 2 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 7 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 7 , 12 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 20 ⟶ 12 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 20 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 15 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 15 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 6 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 6 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 2 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 2 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 7 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 7 , 13 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 20 ⟶ 13 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 20 , 22 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 15 ⟶ 22 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 15 , 22 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 6 ⟶ 22 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 6 , 22 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 2 ⟶ 22 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 2 , 22 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 7 ⟶ 22 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 7 , 22 15 10 11 5 17 9 17 13 15 0 1 15 1 6 6 6 6 20 ⟶ 22 15 10 11 5 17 13 15 1 6 2 4 0 1 6 7 13 6 20 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 21 ↦ 20, 22 ↦ 21, 23 ↦ 22, 20 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 465-rule system { 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 11 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 11 , 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 8 9 4 10 8 8 13 ⟶ 0 10 11 0 1 2 3 4 10 8 9 3 12 2 4 10 13 7 13 , 0 1 2 3 4 0 5 3 4 1 6 7 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{1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.