/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 1 ↦ 0, 0 ↦ 1, 4 ↦ 2, 2 ↦ 3, 3 ↦ 4, 5 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 33-rule system { 0 1 2 1 ⟶ 3 3 3 4 4 0 5 5 3 1 , 1 2 0 5 5 ⟶ 3 2 3 1 3 2 4 1 0 5 , 0 2 3 5 3 ⟶ 2 4 5 1 3 3 1 1 5 4 , 4 0 1 4 1 ⟶ 4 3 3 3 2 4 4 5 3 1 , 5 1 0 2 4 ⟶ 4 5 2 3 3 1 2 4 4 1 , 5 5 5 5 3 ⟶ 5 3 3 1 4 4 0 5 1 1 , 1 5 1 0 0 4 ⟶ 1 3 5 4 2 4 0 1 0 4 , 1 5 1 5 3 5 ⟶ 2 3 1 1 3 5 0 4 2 0 , 0 5 2 1 0 0 ⟶ 2 4 2 2 1 1 1 5 4 4 , 3 2 1 0 1 2 ⟶ 1 3 4 4 4 4 5 1 3 5 , 3 2 0 4 0 2 ⟶ 5 5 4 2 4 3 0 2 2 2 , 3 5 3 5 2 1 ⟶ 2 3 5 4 5 5 3 3 4 1 , 4 2 3 2 3 5 ⟶ 4 5 3 3 1 5 3 2 4 3 , 2 0 4 1 2 1 ⟶ 5 1 0 3 4 0 3 4 5 3 , 5 2 4 3 2 1 ⟶ 5 1 0 3 1 3 3 4 1 3 , 5 5 1 2 1 4 ⟶ 5 3 3 3 3 3 2 2 4 3 , 1 1 5 1 2 1 5 ⟶ 1 5 5 4 5 4 1 5 3 5 , 1 1 5 0 3 5 0 ⟶ 1 0 3 2 4 5 1 0 4 4 , 1 1 5 5 5 1 5 ⟶ 1 0 3 4 5 4 1 1 2 0 , 1 0 0 0 4 1 0 ⟶ 2 3 3 4 4 1 2 1 1 4 , 1 4 0 1 4 0 0 ⟶ 1 4 5 4 5 2 2 5 2 1 , 1 2 0 3 5 1 5 ⟶ 3 1 0 5 0 5 1 3 1 5 , 1 2 3 2 3 4 2 ⟶ 3 1 1 1 5 5 3 1 2 2 , 1 5 1 4 5 3 1 ⟶ 3 3 4 4 0 2 3 3 1 3 , 0 1 2 1 2 1 5 ⟶ 3 3 3 3 4 5 2 3 3 2 , 0 1 2 3 2 3 2 ⟶ 0 3 1 1 2 2 3 3 3 3 , 0 1 5 1 2 4 2 ⟶ 1 2 5 4 5 3 1 4 0 3 , 0 1 5 5 1 2 3 ⟶ 0 1 3 0 5 2 5 3 1 3 , 0 3 2 2 3 2 1 ⟶ 1 3 2 3 4 1 2 4 2 4 , 3 0 0 2 2 0 2 ⟶ 2 3 2 4 2 4 5 2 5 2 , 3 2 3 4 4 2 0 ⟶ 2 2 4 5 2 1 3 3 2 2 , 4 2 1 5 3 4 5 ⟶ 4 4 5 1 1 3 3 4 4 5 , 4 2 3 1 5 0 3 ⟶ 4 4 4 4 4 3 1 0 5 4 } The system was reversed. After renaming modulo the bijection { 1 ↦ 0, 2 ↦ 1, 0 ↦ 2, 3 ↦ 3, 5 ↦ 4, 4 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 33-rule system { 0 1 0 2 ⟶ 0 3 4 4 2 5 5 3 3 3 , 4 4 2 1 0 ⟶ 4 2 0 5 1 3 0 3 1 3 , 3 4 3 1 2 ⟶ 5 4 0 0 3 3 0 4 5 1 , 0 5 0 2 5 ⟶ 0 3 4 5 5 1 3 3 3 5 , 5 1 2 0 4 ⟶ 0 5 5 1 0 3 3 1 4 5 , 3 4 4 4 4 ⟶ 0 0 4 2 5 5 0 3 3 4 , 5 2 2 0 4 0 ⟶ 5 2 0 2 5 1 5 4 3 0 , 4 3 4 0 4 0 ⟶ 2 1 5 2 4 3 0 0 3 1 , 2 2 0 1 4 2 ⟶ 5 5 4 0 0 0 1 1 5 1 , 1 0 2 0 1 3 ⟶ 4 3 0 4 5 5 5 5 3 0 , 1 2 5 2 1 3 ⟶ 1 1 1 2 3 5 1 5 4 4 , 0 1 4 3 4 3 ⟶ 0 5 3 3 4 4 5 4 3 1 , 4 3 1 3 1 5 ⟶ 3 5 1 3 4 0 3 3 4 5 , 0 1 0 5 2 1 ⟶ 3 4 5 3 2 5 3 2 0 4 , 0 1 3 5 1 4 ⟶ 3 0 5 3 3 0 3 2 0 4 , 5 0 1 0 4 4 ⟶ 3 5 1 1 3 3 3 3 3 4 , 4 0 1 0 4 0 0 ⟶ 4 3 4 0 5 4 5 4 4 0 , 2 4 3 2 4 0 0 ⟶ 5 5 2 0 4 5 1 3 2 0 , 4 0 4 4 4 0 0 ⟶ 2 1 0 0 5 4 5 3 2 0 , 2 0 5 2 2 2 0 ⟶ 5 0 0 1 0 5 5 3 3 1 , 2 2 5 0 2 5 0 ⟶ 0 1 4 1 1 4 5 4 5 0 , 4 0 4 3 2 1 0 ⟶ 4 0 3 0 4 2 4 2 0 3 , 1 5 3 1 3 1 0 ⟶ 1 1 0 3 4 4 0 0 0 3 , 0 3 4 5 0 4 0 ⟶ 3 0 3 3 1 2 5 5 3 3 , 4 0 1 0 1 0 2 ⟶ 1 3 3 1 4 5 3 3 3 3 , 1 3 1 3 1 0 2 ⟶ 3 3 3 3 1 1 0 0 3 2 , 1 5 1 0 4 0 2 ⟶ 3 2 5 0 3 4 5 4 1 0 , 3 1 0 4 4 0 2 ⟶ 3 0 3 4 1 4 2 3 0 2 , 0 1 3 1 1 3 2 ⟶ 5 1 5 1 0 5 3 1 3 0 , 1 2 1 1 2 2 3 ⟶ 1 4 1 4 5 1 5 1 3 1 , 2 1 5 5 3 1 3 ⟶ 1 1 3 3 0 1 4 5 1 1 , 4 5 3 4 0 1 5 ⟶ 4 5 5 3 3 0 0 4 5 5 , 3 2 4 0 3 1 5 ⟶ 5 4 2 0 3 5 5 5 5 5 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,0) ↦ 2, (0,2) ↦ 3, (2,0) ↦ 4, (0,3) ↦ 5, (3,4) ↦ 6, (4,4) ↦ 7, (4,2) ↦ 8, (2,5) ↦ 9, (5,5) ↦ 10, (5,3) ↦ 11, (3,3) ↦ 12, (3,0) ↦ 13, (2,1) ↦ 14, (3,1) ↦ 15, (2,2) ↦ 16, (3,2) ↦ 17, (2,3) ↦ 18, (2,4) ↦ 19, (3,5) ↦ 20, (2,7) ↦ 21, (3,7) ↦ 22, (4,0) ↦ 23, (5,0) ↦ 24, (6,0) ↦ 25, (0,4) ↦ 26, (0,5) ↦ 27, (5,1) ↦ 28, (1,3) ↦ 29, (0,7) ↦ 30, (1,4) ↦ 31, (5,4) ↦ 32, (6,4) ↦ 33, (4,3) ↦ 34, (1,2) ↦ 35, (4,5) ↦ 36, (1,1) ↦ 37, (1,5) ↦ 38, (1,7) ↦ 39, (6,3) ↦ 40, (6,5) ↦ 41, (5,2) ↦ 42, (5,7) ↦ 43, (4,1) ↦ 44, (4,7) ↦ 45, (6,2) ↦ 46, (6,1) ↦ 47 }, it remains to prove termination of the 1617-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 , 0 1 2 3 14 ⟶ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 12 15 , 0 1 2 3 16 ⟶ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 12 17 , 0 1 2 3 18 ⟶ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 , 0 1 2 3 19 ⟶ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6 , 0 1 2 3 9 ⟶ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 12 20 , 0 1 2 3 21 ⟶ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 12 22 , 2 1 2 3 4 ⟶ 2 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 , 2 1 2 3 14 ⟶ 2 5 6 7 8 9 10 11 12 12 15 , 2 1 2 3 16 ⟶ 2 5 6 7 8 9 10 11 12 12 17 , 2 1 2 3 18 ⟶ 2 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 , 2 1 2 3 19 ⟶ 2 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6 , 2 1 2 3 9 ⟶ 2 5 6 7 8 9 10 11 12 12 20 , 2 1 2 3 21 ⟶ 2 5 6 7 8 9 10 11 12 12 22 , 4 1 2 3 4 ⟶ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 , 4 1 2 3 14 ⟶ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 15 , 4 1 2 3 16 ⟶ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 17 , 4 1 2 3 18 ⟶ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 , 4 1 2 3 19 ⟶ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6 , 4 1 2 3 9 ⟶ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 20 , 4 1 2 3 21 ⟶ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 22 , 13 1 2 3 4 ⟶ 13 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 , 13 1 2 3 14 ⟶ 13 5 6 7 8 9 10 11 12 12 15 , 13 1 2 3 16 ⟶ 13 5 6 7 8 9 10 11 12 12 17 , 13 1 2 3 18 ⟶ 13 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 , 13 1 2 3 19 ⟶ 13 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6 , 13 1 2 3 9 ⟶ 13 5 6 7 8 9 10 11 12 12 20 , 13 1 2 3 21 ⟶ 13 5 6 7 8 9 10 11 12 12 22 , 23 1 2 3 4 ⟶ 23 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 , 23 1 2 3 14 ⟶ 23 5 6 7 8 9 10 11 12 12 15 , 23 1 2 3 16 ⟶ 23 5 6 7 8 9 10 11 12 12 17 , 23 1 2 3 18 ⟶ 23 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 , 23 1 2 3 19 ⟶ 23 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6 , 23 1 2 3 9 ⟶ 23 5 6 7 8 9 10 11 12 12 20 , 23 1 2 3 21 ⟶ 23 5 6 7 8 9 10 11 12 12 22 , 24 1 2 3 4 ⟶ 24 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 , 24 1 2 3 14 ⟶ 24 5 6 7 8 9 10 11 12 12 15 , 24 1 2 3 16 ⟶ 24 5 6 7 8 9 10 11 12 12 17 , 24 1 2 3 18 ⟶ 24 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 , 24 1 2 3 19 ⟶ 24 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6 , 24 1 2 3 9 ⟶ 24 5 6 7 8 9 10 11 12 12 20 , 24 1 2 3 21 ⟶ 24 5 6 7 8 9 10 11 12 12 22 , 25 1 2 3 4 ⟶ 25 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 , 25 1 2 3 14 ⟶ 25 5 6 7 8 9 10 11 12 12 15 , 25 1 2 3 16 ⟶ 25 5 6 7 8 9 10 11 12 12 17 , 25 1 2 3 18 ⟶ 25 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 , 25 1 2 3 19 ⟶ 25 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6 , 25 1 2 3 9 ⟶ 25 5 6 7 8 9 10 11 12 12 20 , 25 1 2 3 21 ⟶ 25 5 6 7 8 9 10 11 12 12 22 , 26 7 8 14 2 0 ⟶ 26 8 4 27 28 29 13 5 15 29 13 , 26 7 8 14 2 1 ⟶ 26 8 4 27 28 29 13 5 15 29 15 , 26 7 8 14 2 3 ⟶ 26 8 4 27 28 29 13 5 15 29 17 , 26 7 8 14 2 5 ⟶ 26 8 4 27 28 29 13 5 15 29 12 , 26 7 8 14 2 26 ⟶ 26 8 4 27 28 29 13 5 15 29 6 , 26 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1 38 10 ⟶ 6 36 10 11 12 13 0 26 36 10 10 , 6 36 11 6 23 1 38 43 ⟶ 6 36 10 11 12 13 0 26 36 10 43 , 7 36 11 6 23 1 38 24 ⟶ 7 36 10 11 12 13 0 26 36 10 24 , 7 36 11 6 23 1 38 28 ⟶ 7 36 10 11 12 13 0 26 36 10 28 , 7 36 11 6 23 1 38 42 ⟶ 7 36 10 11 12 13 0 26 36 10 42 , 7 36 11 6 23 1 38 11 ⟶ 7 36 10 11 12 13 0 26 36 10 11 , 7 36 11 6 23 1 38 32 ⟶ 7 36 10 11 12 13 0 26 36 10 32 , 7 36 11 6 23 1 38 10 ⟶ 7 36 10 11 12 13 0 26 36 10 10 , 7 36 11 6 23 1 38 43 ⟶ 7 36 10 11 12 13 0 26 36 10 43 , 32 36 11 6 23 1 38 24 ⟶ 32 36 10 11 12 13 0 26 36 10 24 , 32 36 11 6 23 1 38 28 ⟶ 32 36 10 11 12 13 0 26 36 10 28 , 32 36 11 6 23 1 38 42 ⟶ 32 36 10 11 12 13 0 26 36 10 42 , 32 36 11 6 23 1 38 11 ⟶ 32 36 10 11 12 13 0 26 36 10 11 , 32 36 11 6 23 1 38 32 ⟶ 32 36 10 11 12 13 0 26 36 10 32 , 32 36 11 6 23 1 38 10 ⟶ 32 36 10 11 12 13 0 26 36 10 10 , 32 36 11 6 23 1 38 43 ⟶ 32 36 10 11 12 13 0 26 36 10 43 , 33 36 11 6 23 1 38 24 ⟶ 33 36 10 11 12 13 0 26 36 10 24 , 33 36 11 6 23 1 38 28 ⟶ 33 36 10 11 12 13 0 26 36 10 28 , 33 36 11 6 23 1 38 42 ⟶ 33 36 10 11 12 13 0 26 36 10 42 , 33 36 11 6 23 1 38 11 ⟶ 33 36 10 11 12 13 0 26 36 10 11 , 33 36 11 6 23 1 38 32 ⟶ 33 36 10 11 12 13 0 26 36 10 32 , 33 36 11 6 23 1 38 10 ⟶ 33 36 10 11 12 13 0 26 36 10 10 , 33 36 11 6 23 1 38 43 ⟶ 33 36 10 11 12 13 0 26 36 10 43 , 5 17 19 23 5 15 38 24 ⟶ 27 32 8 4 5 20 10 10 10 10 24 , 5 17 19 23 5 15 38 28 ⟶ 27 32 8 4 5 20 10 10 10 10 28 , 5 17 19 23 5 15 38 42 ⟶ 27 32 8 4 5 20 10 10 10 10 42 , 5 17 19 23 5 15 38 11 ⟶ 27 32 8 4 5 20 10 10 10 10 11 , 5 17 19 23 5 15 38 32 ⟶ 27 32 8 4 5 20 10 10 10 10 32 , 5 17 19 23 5 15 38 10 ⟶ 27 32 8 4 5 20 10 10 10 10 10 , 5 17 19 23 5 15 38 43 ⟶ 27 32 8 4 5 20 10 10 10 10 43 , 29 17 19 23 5 15 38 24 ⟶ 38 32 8 4 5 20 10 10 10 10 24 , 29 17 19 23 5 15 38 28 ⟶ 38 32 8 4 5 20 10 10 10 10 28 , 29 17 19 23 5 15 38 42 ⟶ 38 32 8 4 5 20 10 10 10 10 42 , 29 17 19 23 5 15 38 11 ⟶ 38 32 8 4 5 20 10 10 10 10 11 , 29 17 19 23 5 15 38 32 ⟶ 38 32 8 4 5 20 10 10 10 10 32 , 29 17 19 23 5 15 38 10 ⟶ 38 32 8 4 5 20 10 10 10 10 10 , 29 17 19 23 5 15 38 43 ⟶ 38 32 8 4 5 20 10 10 10 10 43 , 18 17 19 23 5 15 38 24 ⟶ 9 32 8 4 5 20 10 10 10 10 24 , 18 17 19 23 5 15 38 28 ⟶ 9 32 8 4 5 20 10 10 10 10 28 , 18 17 19 23 5 15 38 42 ⟶ 9 32 8 4 5 20 10 10 10 10 42 , 18 17 19 23 5 15 38 11 ⟶ 9 32 8 4 5 20 10 10 10 10 11 , 18 17 19 23 5 15 38 32 ⟶ 9 32 8 4 5 20 10 10 10 10 32 , 18 17 19 23 5 15 38 10 ⟶ 9 32 8 4 5 20 10 10 10 10 10 , 18 17 19 23 5 15 38 43 ⟶ 9 32 8 4 5 20 10 10 10 10 43 , 12 17 19 23 5 15 38 24 ⟶ 20 32 8 4 5 20 10 10 10 10 24 , 12 17 19 23 5 15 38 28 ⟶ 20 32 8 4 5 20 10 10 10 10 28 , 12 17 19 23 5 15 38 42 ⟶ 20 32 8 4 5 20 10 10 10 10 42 , 12 17 19 23 5 15 38 11 ⟶ 20 32 8 4 5 20 10 10 10 10 11 , 12 17 19 23 5 15 38 32 ⟶ 20 32 8 4 5 20 10 10 10 10 32 , 12 17 19 23 5 15 38 10 ⟶ 20 32 8 4 5 20 10 10 10 10 10 , 12 17 19 23 5 15 38 43 ⟶ 20 32 8 4 5 20 10 10 10 10 43 , 34 17 19 23 5 15 38 24 ⟶ 36 32 8 4 5 20 10 10 10 10 24 , 34 17 19 23 5 15 38 28 ⟶ 36 32 8 4 5 20 10 10 10 10 28 , 34 17 19 23 5 15 38 42 ⟶ 36 32 8 4 5 20 10 10 10 10 42 , 34 17 19 23 5 15 38 11 ⟶ 36 32 8 4 5 20 10 10 10 10 11 , 34 17 19 23 5 15 38 32 ⟶ 36 32 8 4 5 20 10 10 10 10 32 , 34 17 19 23 5 15 38 10 ⟶ 36 32 8 4 5 20 10 10 10 10 10 , 34 17 19 23 5 15 38 43 ⟶ 36 32 8 4 5 20 10 10 10 10 43 , 11 17 19 23 5 15 38 24 ⟶ 10 32 8 4 5 20 10 10 10 10 24 , 11 17 19 23 5 15 38 28 ⟶ 10 32 8 4 5 20 10 10 10 10 28 , 11 17 19 23 5 15 38 42 ⟶ 10 32 8 4 5 20 10 10 10 10 42 , 11 17 19 23 5 15 38 11 ⟶ 10 32 8 4 5 20 10 10 10 10 11 , 11 17 19 23 5 15 38 32 ⟶ 10 32 8 4 5 20 10 10 10 10 32 , 11 17 19 23 5 15 38 10 ⟶ 10 32 8 4 5 20 10 10 10 10 10 , 11 17 19 23 5 15 38 43 ⟶ 10 32 8 4 5 20 10 10 10 10 43 , 40 17 19 23 5 15 38 24 ⟶ 41 32 8 4 5 20 10 10 10 10 24 , 40 17 19 23 5 15 38 28 ⟶ 41 32 8 4 5 20 10 10 10 10 28 , 40 17 19 23 5 15 38 42 ⟶ 41 32 8 4 5 20 10 10 10 10 42 , 40 17 19 23 5 15 38 11 ⟶ 41 32 8 4 5 20 10 10 10 10 11 , 40 17 19 23 5 15 38 32 ⟶ 41 32 8 4 5 20 10 10 10 10 32 , 40 17 19 23 5 15 38 10 ⟶ 41 32 8 4 5 20 10 10 10 10 10 , 40 17 19 23 5 15 38 43 ⟶ 41 32 8 4 5 20 10 10 10 10 43 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 44 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 45 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 46 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 47 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 23 ↦ 21, 24 ↦ 22, 25 ↦ 23, 26 ↦ 24, 27 ↦ 25, 28 ↦ 26, 29 ↦ 27, 30 ↦ 28, 22 ↦ 29, 31 ↦ 30, 32 ↦ 31, 33 ↦ 32, 34 ↦ 33, 35 ↦ 34, 36 ↦ 35, 37 ↦ 36, 38 ↦ 37, 40 ↦ 38, 41 ↦ 39, 42 ↦ 40, 43 ↦ 41, 44 ↦ 42, 45 ↦ 43, 39 ↦ 44, 46 ↦ 45, 47 ↦ 46, 21 ↦ 47 }, it remains to prove termination of the 1575-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 , 0 1 2 3 14 ⟶ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 12 15 , 0 1 2 3 16 ⟶ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 12 17 , 0 1 2 3 18 ⟶ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 , 0 1 2 3 19 ⟶ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6 , 0 1 2 3 9 ⟶ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 12 20 , 2 1 2 3 4 ⟶ 2 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 , 2 1 2 3 14 ⟶ 2 5 6 7 8 9 10 11 12 12 15 , 2 1 2 3 16 ⟶ 2 5 6 7 8 9 10 11 12 12 17 , 2 1 2 3 18 ⟶ 2 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 , 2 1 2 3 19 ⟶ 2 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6 , 2 1 2 3 9 ⟶ 2 5 6 7 8 9 10 11 12 12 20 , 4 1 2 3 4 ⟶ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 , 4 1 2 3 14 ⟶ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 15 , 4 1 2 3 16 ⟶ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 17 , 4 1 2 3 18 ⟶ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 , 4 1 2 3 19 ⟶ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6 , 4 1 2 3 9 ⟶ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 20 , 13 1 2 3 4 ⟶ 13 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 , 13 1 2 3 14 ⟶ 13 5 6 7 8 9 10 11 12 12 15 , 13 1 2 3 16 ⟶ 13 5 6 7 8 9 10 11 12 12 17 , 13 1 2 3 18 ⟶ 13 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 , 13 1 2 3 19 ⟶ 13 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6 , 13 1 2 3 9 ⟶ 13 5 6 7 8 9 10 11 12 12 20 , 21 1 2 3 4 ⟶ 21 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 , 21 1 2 3 14 ⟶ 21 5 6 7 8 9 10 11 12 12 15 , 21 1 2 3 16 ⟶ 21 5 6 7 8 9 10 11 12 12 17 , 21 1 2 3 18 ⟶ 21 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 , 21 1 2 3 19 ⟶ 21 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6 , 21 1 2 3 9 ⟶ 21 5 6 7 8 9 10 11 12 12 20 , 22 1 2 3 4 ⟶ 22 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 , 22 1 2 3 14 ⟶ 22 5 6 7 8 9 10 11 12 12 15 , 22 1 2 3 16 ⟶ 22 5 6 7 8 9 10 11 12 12 17 , 22 1 2 3 18 ⟶ 22 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 , 22 1 2 3 19 ⟶ 22 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6 , 22 1 2 3 9 ⟶ 22 5 6 7 8 9 10 11 12 12 20 , 23 1 2 3 4 ⟶ 23 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 , 23 1 2 3 14 ⟶ 23 5 6 7 8 9 10 11 12 12 15 , 23 1 2 3 16 ⟶ 23 5 6 7 8 9 10 11 12 12 17 , 23 1 2 3 18 ⟶ 23 5 6 7 8 9 10 11 12 12 12 , 23 1 2 3 19 ⟶ 23 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6 , 23 1 2 3 9 ⟶ 23 5 6 7 8 9 10 11 12 12 20 , 24 7 8 14 2 0 ⟶ 24 8 4 25 26 27 13 5 15 27 13 , 24 7 8 14 2 1 ⟶ 24 8 4 25 26 27 13 5 15 27 15 , 24 7 8 14 2 3 ⟶ 24 8 4 25 26 27 13 5 15 27 17 , 24 7 8 14 2 5 ⟶ 24 8 4 25 26 27 13 5 15 27 12 , 24 7 8 14 2 24 ⟶ 24 8 4 25 26 27 13 5 15 27 6 , 24 7 8 14 2 25 ⟶ 24 8 4 25 26 27 13 5 15 27 20 , 24 7 8 14 2 28 ⟶ 24 8 4 25 26 27 13 5 15 27 29 , 30 7 8 14 2 0 ⟶ 30 8 4 25 26 27 13 5 15 27 13 , 30 7 8 14 2 1 ⟶ 30 8 4 25 26 27 13 5 15 27 15 , 30 7 8 14 2 3 ⟶ 30 8 4 25 26 27 13 5 15 27 17 , 30 7 8 14 2 5 ⟶ 30 8 4 25 26 27 13 5 15 27 12 , 30 7 8 14 2 24 ⟶ 30 8 4 25 26 27 13 5 15 27 6 , 30 7 8 14 2 25 ⟶ 30 8 4 25 26 27 13 5 15 27 20 , 30 7 8 14 2 28 ⟶ 30 8 4 25 26 27 13 5 15 27 29 , 19 7 8 14 2 0 ⟶ 19 8 4 25 26 27 13 5 15 27 13 , 19 7 8 14 2 1 ⟶ 19 8 4 25 26 27 13 5 15 27 15 , 19 7 8 14 2 3 ⟶ 19 8 4 25 26 27 13 5 15 27 17 , 19 7 8 14 2 5 ⟶ 19 8 4 25 26 27 13 5 15 27 12 , 19 7 8 14 2 24 ⟶ 19 8 4 25 26 27 13 5 15 27 6 , 19 7 8 14 2 25 ⟶ 19 8 4 25 26 27 13 5 15 27 20 , 19 7 8 14 2 28 ⟶ 19 8 4 25 26 27 13 5 15 27 29 , 6 7 8 14 2 0 ⟶ 6 8 4 25 26 27 13 5 15 27 13 , 6 7 8 14 2 1 ⟶ 6 8 4 25 26 27 13 5 15 27 15 , 6 7 8 14 2 3 ⟶ 6 8 4 25 26 27 13 5 15 27 17 , 6 7 8 14 2 5 ⟶ 6 8 4 25 26 27 13 5 15 27 12 , 6 7 8 14 2 24 ⟶ 6 8 4 25 26 27 13 5 15 27 6 , 6 7 8 14 2 25 ⟶ 6 8 4 25 26 27 13 5 15 27 20 , 6 7 8 14 2 28 ⟶ 6 8 4 25 26 27 13 5 15 27 29 , 7 7 8 14 2 0 ⟶ 7 8 4 25 26 27 13 5 15 27 13 , 7 7 8 14 2 1 ⟶ 7 8 4 25 26 27 13 5 15 27 15 , 7 7 8 14 2 3 ⟶ 7 8 4 25 26 27 13 5 15 27 17 , 7 7 8 14 2 5 ⟶ 7 8 4 25 26 27 13 5 15 27 12 , 7 7 8 14 2 24 ⟶ 7 8 4 25 26 27 13 5 15 27 6 , 7 7 8 14 2 25 ⟶ 7 8 4 25 26 27 13 5 15 27 20 , 7 7 8 14 2 28 ⟶ 7 8 4 25 26 27 13 5 15 27 29 , 31 7 8 14 2 0 ⟶ 31 8 4 25 26 27 13 5 15 27 13 , 31 7 8 14 2 1 ⟶ 31 8 4 25 26 27 13 5 15 27 15 , 31 7 8 14 2 3 ⟶ 31 8 4 25 26 27 13 5 15 27 17 , 31 7 8 14 2 5 ⟶ 31 8 4 25 26 27 13 5 15 27 12 , 31 7 8 14 2 24 ⟶ 31 8 4 25 26 27 13 5 15 27 6 , 31 7 8 14 2 25 ⟶ 31 8 4 25 26 27 13 5 15 27 20 , 31 7 8 14 2 28 ⟶ 31 8 4 25 26 27 13 5 15 27 29 , 32 7 8 14 2 0 ⟶ 32 8 4 25 26 27 13 5 15 27 13 , 32 7 8 14 2 1 ⟶ 32 8 4 25 26 27 13 5 15 27 15 , 32 7 8 14 2 3 ⟶ 32 8 4 25 26 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10 26 , 38 17 19 21 5 15 37 40 ⟶ 39 31 8 4 5 20 10 10 10 10 40 , 38 17 19 21 5 15 37 11 ⟶ 39 31 8 4 5 20 10 10 10 10 11 , 38 17 19 21 5 15 37 31 ⟶ 39 31 8 4 5 20 10 10 10 10 31 , 38 17 19 21 5 15 37 10 ⟶ 39 31 8 4 5 20 10 10 10 10 10 , 38 17 19 21 5 15 37 41 ⟶ 39 31 8 4 5 20 10 10 10 10 41 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 36 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 10 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 55 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 10 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 17 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 15 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 44 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 21 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 28 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 5 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 10 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 28 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 39 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 11 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 24 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 14 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 7 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 11 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 44 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 45 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 46 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 47 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 35 ↦ 0, 26 ↦ 1, 34 ↦ 2, 4 ↦ 3, 24 ↦ 4, 8 ↦ 5, 21 ↦ 6, 25 ↦ 7, 10 ↦ 8, 2 ↦ 9, 5 ↦ 10, 12 ↦ 11, 15 ↦ 12, 30 ↦ 13, 40 ↦ 14, 18 ↦ 15, 6 ↦ 16, 7 ↦ 17, 0 ↦ 18, 9 ↦ 19, 22 ↦ 20, 42 ↦ 21, 33 ↦ 22, 43 ↦ 23, 19 ↦ 24, 16 ↦ 25, 14 ↦ 26, 37 ↦ 27, 13 ↦ 28, 27 ↦ 29, 1 ↦ 30, 36 ↦ 31, 20 ↦ 32, 31 ↦ 33, 46 ↦ 34, 11 ↦ 35, 17 ↦ 36 }, it remains to prove termination of the 48-rule system { 0 1 2 3 4 5 ⟶ 6 7 8 1 9 10 11 12 13 0 14 , 0 1 2 3 4 0 ⟶ 6 7 8 1 9 10 11 12 13 0 8 , 15 16 17 17 17 6 ⟶ 3 18 4 5 19 8 20 10 11 16 6 , 15 16 17 17 17 21 ⟶ 3 18 4 5 19 8 20 10 11 16 21 , 15 16 17 17 17 5 ⟶ 3 18 4 5 19 8 20 10 11 16 5 , 15 16 17 17 17 22 ⟶ 3 18 4 5 19 8 20 10 11 16 22 , 15 16 17 17 17 17 ⟶ 3 18 4 5 19 8 20 10 11 16 17 , 15 16 17 17 17 0 ⟶ 3 18 4 5 19 8 20 10 11 16 0 , 15 16 17 17 17 23 ⟶ 3 18 4 5 19 8 20 10 11 16 23 , 24 22 16 6 4 6 10 ⟶ 25 26 27 14 24 22 28 18 10 12 29 , 30 2 19 14 26 29 28 ⟶ 30 31 31 2 15 32 1 27 33 17 6 , 31 2 19 14 26 29 28 ⟶ 31 31 31 2 15 32 1 27 33 17 6 , 26 2 19 14 26 29 28 ⟶ 26 31 31 2 15 32 1 27 33 17 6 , 12 2 19 14 26 29 28 ⟶ 12 31 31 2 15 32 1 27 33 17 6 , 21 2 19 14 26 29 28 ⟶ 21 31 31 2 15 32 1 27 33 17 6 , 1 2 19 14 26 29 28 ⟶ 1 31 31 2 15 32 1 27 33 17 6 , 34 2 19 14 26 29 28 ⟶ 34 31 31 2 15 32 1 27 33 17 6 , 9 30 29 32 1 13 6 ⟶ 29 28 7 35 11 28 10 36 3 4 6 , 9 30 29 32 1 13 21 ⟶ 29 28 7 35 11 28 10 36 3 4 21 , 9 30 29 32 1 13 5 ⟶ 29 28 7 35 11 28 10 36 3 4 5 , 9 30 29 32 1 13 22 ⟶ 29 28 7 35 11 28 10 36 3 4 22 , 9 30 29 32 1 13 17 ⟶ 29 28 7 35 11 28 10 36 3 4 17 , 9 30 29 32 1 13 0 ⟶ 29 28 7 35 11 28 10 36 3 4 0 , 9 30 29 32 1 13 23 ⟶ 29 28 7 35 11 28 10 36 3 4 23 , 5 3 7 14 25 25 3 10 ⟶ 0 20 18 30 9 7 8 35 11 12 29 , 14 3 7 14 25 25 3 10 ⟶ 8 20 18 30 9 7 8 35 11 12 29 , 30 27 35 12 29 12 9 18 ⟶ 30 31 9 10 16 17 6 18 18 10 28 , 30 27 35 12 29 12 9 10 ⟶ 30 31 9 10 16 17 6 18 18 10 11 , 30 27 35 12 29 12 9 7 ⟶ 30 31 9 10 16 17 6 18 18 10 32 , 31 27 35 12 29 12 9 18 ⟶ 31 31 9 10 16 17 6 18 18 10 28 , 31 27 35 12 29 12 9 10 ⟶ 31 31 9 10 16 17 6 18 18 10 11 , 31 27 35 12 29 12 9 7 ⟶ 31 31 9 10 16 17 6 18 18 10 32 , 26 27 35 12 29 12 9 18 ⟶ 26 31 9 10 16 17 6 18 18 10 28 , 26 27 35 12 29 12 9 10 ⟶ 26 31 9 10 16 17 6 18 18 10 11 , 26 27 35 12 29 12 9 7 ⟶ 26 31 9 10 16 17 6 18 18 10 32 , 12 27 35 12 29 12 9 18 ⟶ 12 31 9 10 16 17 6 18 18 10 28 , 12 27 35 12 29 12 9 10 ⟶ 12 31 9 10 16 17 6 18 18 10 11 , 12 27 35 12 29 12 9 7 ⟶ 12 31 9 10 16 17 6 18 18 10 32 , 21 27 35 12 29 12 9 18 ⟶ 21 31 9 10 16 17 6 18 18 10 28 , 21 27 35 12 29 12 9 10 ⟶ 21 31 9 10 16 17 6 18 18 10 11 , 21 27 35 12 29 12 9 7 ⟶ 21 31 9 10 16 17 6 18 18 10 32 , 1 27 35 12 29 12 9 18 ⟶ 1 31 9 10 16 17 6 18 18 10 28 , 1 27 35 12 29 12 9 10 ⟶ 1 31 9 10 16 17 6 18 18 10 11 , 1 27 35 12 29 12 9 7 ⟶ 1 31 9 10 16 17 6 18 18 10 32 , 34 27 35 12 29 12 9 18 ⟶ 34 31 9 10 16 17 6 18 18 10 28 , 34 27 35 12 29 12 9 10 ⟶ 34 31 9 10 16 17 6 18 18 10 11 , 34 27 35 12 29 12 9 7 ⟶ 34 31 9 10 16 17 6 18 18 10 32 , 36 26 27 8 35 12 29 36 ⟶ 12 31 29 11 28 30 13 0 1 31 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 15 ↦ 13, 16 ↦ 14, 17 ↦ 15, 18 ↦ 16, 5 ↦ 17, 19 ↦ 18, 20 ↦ 19, 21 ↦ 20, 22 ↦ 21, 23 ↦ 22, 24 ↦ 23, 25 ↦ 24, 26 ↦ 25, 27 ↦ 26, 14 ↦ 27, 28 ↦ 28, 29 ↦ 29, 30 ↦ 30, 31 ↦ 31, 32 ↦ 32, 33 ↦ 33, 34 ↦ 34, 35 ↦ 35, 36 ↦ 36 }, it remains to prove termination of the 47-rule system { 0 1 2 3 4 0 ⟶ 5 6 7 1 8 9 10 11 12 0 7 , 13 14 15 15 15 5 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 5 , 13 14 15 15 15 20 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 20 , 13 14 15 15 15 17 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 17 , 13 14 15 15 15 21 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 21 , 13 14 15 15 15 15 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 15 , 13 14 15 15 15 0 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 0 , 13 14 15 15 15 22 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 22 , 23 21 14 5 4 5 9 ⟶ 24 25 26 27 23 21 28 16 9 11 29 , 30 2 18 27 25 29 28 ⟶ 30 31 31 2 13 32 1 26 33 15 5 , 31 2 18 27 25 29 28 ⟶ 31 31 31 2 13 32 1 26 33 15 5 , 25 2 18 27 25 29 28 ⟶ 25 31 31 2 13 32 1 26 33 15 5 , 11 2 18 27 25 29 28 ⟶ 11 31 31 2 13 32 1 26 33 15 5 , 20 2 18 27 25 29 28 ⟶ 20 31 31 2 13 32 1 26 33 15 5 , 1 2 18 27 25 29 28 ⟶ 1 31 31 2 13 32 1 26 33 15 5 , 34 2 18 27 25 29 28 ⟶ 34 31 31 2 13 32 1 26 33 15 5 , 8 30 29 32 1 12 5 ⟶ 29 28 6 35 10 28 9 36 3 4 5 , 8 30 29 32 1 12 20 ⟶ 29 28 6 35 10 28 9 36 3 4 20 , 8 30 29 32 1 12 17 ⟶ 29 28 6 35 10 28 9 36 3 4 17 , 8 30 29 32 1 12 21 ⟶ 29 28 6 35 10 28 9 36 3 4 21 , 8 30 29 32 1 12 15 ⟶ 29 28 6 35 10 28 9 36 3 4 15 , 8 30 29 32 1 12 0 ⟶ 29 28 6 35 10 28 9 36 3 4 0 , 8 30 29 32 1 12 22 ⟶ 29 28 6 35 10 28 9 36 3 4 22 , 17 3 6 27 24 24 3 9 ⟶ 0 19 16 30 8 6 7 35 10 11 29 , 27 3 6 27 24 24 3 9 ⟶ 7 19 16 30 8 6 7 35 10 11 29 , 30 26 35 11 29 11 8 16 ⟶ 30 31 8 9 14 15 5 16 16 9 28 , 30 26 35 11 29 11 8 9 ⟶ 30 31 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 30 26 35 11 29 11 8 6 ⟶ 30 31 8 9 14 15 5 16 16 9 32 , 31 26 35 11 29 11 8 16 ⟶ 31 31 8 9 14 15 5 16 16 9 28 , 31 26 35 11 29 11 8 9 ⟶ 31 31 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 31 26 35 11 29 11 8 6 ⟶ 31 31 8 9 14 15 5 16 16 9 32 , 25 26 35 11 29 11 8 16 ⟶ 25 31 8 9 14 15 5 16 16 9 28 , 25 26 35 11 29 11 8 9 ⟶ 25 31 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 25 26 35 11 29 11 8 6 ⟶ 25 31 8 9 14 15 5 16 16 9 32 , 11 26 35 11 29 11 8 16 ⟶ 11 31 8 9 14 15 5 16 16 9 28 , 11 26 35 11 29 11 8 9 ⟶ 11 31 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 11 26 35 11 29 11 8 6 ⟶ 11 31 8 9 14 15 5 16 16 9 32 , 20 26 35 11 29 11 8 16 ⟶ 20 31 8 9 14 15 5 16 16 9 28 , 20 26 35 11 29 11 8 9 ⟶ 20 31 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 20 26 35 11 29 11 8 6 ⟶ 20 31 8 9 14 15 5 16 16 9 32 , 1 26 35 11 29 11 8 16 ⟶ 1 31 8 9 14 15 5 16 16 9 28 , 1 26 35 11 29 11 8 9 ⟶ 1 31 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 1 26 35 11 29 11 8 6 ⟶ 1 31 8 9 14 15 5 16 16 9 32 , 34 26 35 11 29 11 8 16 ⟶ 34 31 8 9 14 15 5 16 16 9 28 , 34 26 35 11 29 11 8 9 ⟶ 34 31 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 34 26 35 11 29 11 8 6 ⟶ 34 31 8 9 14 15 5 16 16 9 32 , 36 25 26 7 35 11 29 36 ⟶ 11 31 29 10 28 30 12 0 1 31 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23, 24 ↦ 24, 25 ↦ 25, 26 ↦ 26, 27 ↦ 27, 28 ↦ 28, 29 ↦ 29, 30 ↦ 30, 31 ↦ 31, 32 ↦ 32, 33 ↦ 33, 34 ↦ 34, 35 ↦ 35, 36 ↦ 36 }, it remains to prove termination of the 46-rule system { 0 1 2 3 4 0 ⟶ 5 6 7 1 8 9 10 11 12 0 7 , 13 14 15 15 15 5 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 5 , 13 14 15 15 15 20 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 20 , 13 14 15 15 15 17 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 17 , 13 14 15 15 15 21 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 21 , 13 14 15 15 15 15 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 15 , 13 14 15 15 15 0 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 0 , 13 14 15 15 15 22 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 22 , 23 21 14 5 4 5 9 ⟶ 24 25 26 27 23 21 28 16 9 11 29 , 30 2 18 27 25 29 28 ⟶ 30 31 31 2 13 32 1 26 33 15 5 , 31 2 18 27 25 29 28 ⟶ 31 31 31 2 13 32 1 26 33 15 5 , 25 2 18 27 25 29 28 ⟶ 25 31 31 2 13 32 1 26 33 15 5 , 11 2 18 27 25 29 28 ⟶ 11 31 31 2 13 32 1 26 33 15 5 , 20 2 18 27 25 29 28 ⟶ 20 31 31 2 13 32 1 26 33 15 5 , 1 2 18 27 25 29 28 ⟶ 1 31 31 2 13 32 1 26 33 15 5 , 34 2 18 27 25 29 28 ⟶ 34 31 31 2 13 32 1 26 33 15 5 , 8 30 29 32 1 12 5 ⟶ 29 28 6 35 10 28 9 36 3 4 5 , 8 30 29 32 1 12 20 ⟶ 29 28 6 35 10 28 9 36 3 4 20 , 8 30 29 32 1 12 17 ⟶ 29 28 6 35 10 28 9 36 3 4 17 , 8 30 29 32 1 12 21 ⟶ 29 28 6 35 10 28 9 36 3 4 21 , 8 30 29 32 1 12 15 ⟶ 29 28 6 35 10 28 9 36 3 4 15 , 8 30 29 32 1 12 0 ⟶ 29 28 6 35 10 28 9 36 3 4 0 , 8 30 29 32 1 12 22 ⟶ 29 28 6 35 10 28 9 36 3 4 22 , 17 3 6 27 24 24 3 9 ⟶ 0 19 16 30 8 6 7 35 10 11 29 , 30 26 35 11 29 11 8 16 ⟶ 30 31 8 9 14 15 5 16 16 9 28 , 30 26 35 11 29 11 8 9 ⟶ 30 31 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 30 26 35 11 29 11 8 6 ⟶ 30 31 8 9 14 15 5 16 16 9 32 , 31 26 35 11 29 11 8 16 ⟶ 31 31 8 9 14 15 5 16 16 9 28 , 31 26 35 11 29 11 8 9 ⟶ 31 31 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 31 26 35 11 29 11 8 6 ⟶ 31 31 8 9 14 15 5 16 16 9 32 , 25 26 35 11 29 11 8 16 ⟶ 25 31 8 9 14 15 5 16 16 9 28 , 25 26 35 11 29 11 8 9 ⟶ 25 31 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 25 26 35 11 29 11 8 6 ⟶ 25 31 8 9 14 15 5 16 16 9 32 , 11 26 35 11 29 11 8 16 ⟶ 11 31 8 9 14 15 5 16 16 9 28 , 11 26 35 11 29 11 8 9 ⟶ 11 31 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 11 26 35 11 29 11 8 6 ⟶ 11 31 8 9 14 15 5 16 16 9 32 , 20 26 35 11 29 11 8 16 ⟶ 20 31 8 9 14 15 5 16 16 9 28 , 20 26 35 11 29 11 8 9 ⟶ 20 31 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 20 26 35 11 29 11 8 6 ⟶ 20 31 8 9 14 15 5 16 16 9 32 , 1 26 35 11 29 11 8 16 ⟶ 1 31 8 9 14 15 5 16 16 9 28 , 1 26 35 11 29 11 8 9 ⟶ 1 31 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 1 26 35 11 29 11 8 6 ⟶ 1 31 8 9 14 15 5 16 16 9 32 , 34 26 35 11 29 11 8 16 ⟶ 34 31 8 9 14 15 5 16 16 9 28 , 34 26 35 11 29 11 8 9 ⟶ 34 31 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 34 26 35 11 29 11 8 6 ⟶ 34 31 8 9 14 15 5 16 16 9 32 , 36 25 26 7 35 11 29 36 ⟶ 11 31 29 10 28 30 12 0 1 31 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 21 ↦ 20, 22 ↦ 21, 23 ↦ 22, 24 ↦ 23, 25 ↦ 24, 26 ↦ 25, 27 ↦ 26, 28 ↦ 27, 29 ↦ 28, 30 ↦ 29, 31 ↦ 30, 32 ↦ 31, 33 ↦ 32, 20 ↦ 33, 34 ↦ 34, 35 ↦ 35, 36 ↦ 36 }, it remains to prove termination of the 45-rule system { 0 1 2 3 4 0 ⟶ 5 6 7 1 8 9 10 11 12 0 7 , 13 14 15 15 15 5 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 5 , 13 14 15 15 15 17 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 17 , 13 14 15 15 15 20 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 20 , 13 14 15 15 15 15 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 15 , 13 14 15 15 15 0 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 0 , 13 14 15 15 15 21 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 21 , 22 20 14 5 4 5 9 ⟶ 23 24 25 26 22 20 27 16 9 11 28 , 29 2 18 26 24 28 27 ⟶ 29 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 30 2 18 26 24 28 27 ⟶ 30 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 24 2 18 26 24 28 27 ⟶ 24 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 11 2 18 26 24 28 27 ⟶ 11 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 33 2 18 26 24 28 27 ⟶ 33 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 1 2 18 26 24 28 27 ⟶ 1 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 34 2 18 26 24 28 27 ⟶ 34 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 8 29 28 31 1 12 5 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 5 , 8 29 28 31 1 12 33 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 33 , 8 29 28 31 1 12 17 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 17 , 8 29 28 31 1 12 20 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 20 , 8 29 28 31 1 12 15 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 15 , 8 29 28 31 1 12 0 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 0 , 8 29 28 31 1 12 21 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 21 , 17 3 6 26 23 23 3 9 ⟶ 0 19 16 29 8 6 7 35 10 11 28 , 29 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 29 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 29 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 29 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 29 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 29 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 30 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 30 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 30 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 24 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 24 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 24 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 24 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 24 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 24 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 11 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 11 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 11 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 33 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 33 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 33 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 33 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 33 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 33 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 1 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 1 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 1 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 34 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 34 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 34 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 34 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 34 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 34 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 36 24 25 7 35 11 28 36 ⟶ 11 30 28 10 27 29 12 0 1 30 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23, 24 ↦ 24, 25 ↦ 25, 26 ↦ 26, 27 ↦ 27, 28 ↦ 28, 29 ↦ 29, 30 ↦ 30, 31 ↦ 31, 32 ↦ 32, 33 ↦ 33, 34 ↦ 34, 35 ↦ 35, 36 ↦ 36 }, it remains to prove termination of the 44-rule system { 0 1 2 3 4 0 ⟶ 5 6 7 1 8 9 10 11 12 0 7 , 13 14 15 15 15 5 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 5 , 13 14 15 15 15 20 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 20 , 13 14 15 15 15 15 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 15 , 13 14 15 15 15 0 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 0 , 13 14 15 15 15 21 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 21 , 22 20 14 5 4 5 9 ⟶ 23 24 25 26 22 20 27 16 9 11 28 , 29 2 18 26 24 28 27 ⟶ 29 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 30 2 18 26 24 28 27 ⟶ 30 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 24 2 18 26 24 28 27 ⟶ 24 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 11 2 18 26 24 28 27 ⟶ 11 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 33 2 18 26 24 28 27 ⟶ 33 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 1 2 18 26 24 28 27 ⟶ 1 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 34 2 18 26 24 28 27 ⟶ 34 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 8 29 28 31 1 12 5 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 5 , 8 29 28 31 1 12 33 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 33 , 8 29 28 31 1 12 17 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 17 , 8 29 28 31 1 12 20 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 20 , 8 29 28 31 1 12 15 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 15 , 8 29 28 31 1 12 0 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 0 , 8 29 28 31 1 12 21 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 21 , 17 3 6 26 23 23 3 9 ⟶ 0 19 16 29 8 6 7 35 10 11 28 , 29 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 29 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 29 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 29 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 29 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 29 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 30 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 30 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 30 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 24 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 24 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 24 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 24 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 24 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 24 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 11 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 11 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 11 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 33 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 33 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 33 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 33 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 33 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 33 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 1 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 1 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 1 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 34 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 34 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 34 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 34 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 34 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 34 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 36 24 25 7 35 11 28 36 ⟶ 11 30 28 10 27 29 12 0 1 30 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 21 ↦ 20, 22 ↦ 21, 20 ↦ 22, 23 ↦ 23, 24 ↦ 24, 25 ↦ 25, 26 ↦ 26, 27 ↦ 27, 28 ↦ 28, 29 ↦ 29, 30 ↦ 30, 31 ↦ 31, 32 ↦ 32, 33 ↦ 33, 34 ↦ 34, 35 ↦ 35, 36 ↦ 36 }, it remains to prove termination of the 43-rule system { 0 1 2 3 4 0 ⟶ 5 6 7 1 8 9 10 11 12 0 7 , 13 14 15 15 15 5 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 5 , 13 14 15 15 15 15 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 15 , 13 14 15 15 15 0 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 0 , 13 14 15 15 15 20 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 20 , 21 22 14 5 4 5 9 ⟶ 23 24 25 26 21 22 27 16 9 11 28 , 29 2 18 26 24 28 27 ⟶ 29 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 30 2 18 26 24 28 27 ⟶ 30 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 24 2 18 26 24 28 27 ⟶ 24 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 11 2 18 26 24 28 27 ⟶ 11 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 33 2 18 26 24 28 27 ⟶ 33 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 1 2 18 26 24 28 27 ⟶ 1 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 34 2 18 26 24 28 27 ⟶ 34 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 8 29 28 31 1 12 5 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 5 , 8 29 28 31 1 12 33 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 33 , 8 29 28 31 1 12 17 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 17 , 8 29 28 31 1 12 22 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 22 , 8 29 28 31 1 12 15 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 15 , 8 29 28 31 1 12 0 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 0 , 8 29 28 31 1 12 20 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 20 , 17 3 6 26 23 23 3 9 ⟶ 0 19 16 29 8 6 7 35 10 11 28 , 29 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 29 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 29 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 29 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 29 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 29 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 30 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 30 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 30 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 24 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 24 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 24 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 24 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 24 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 24 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 11 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 11 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 11 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 33 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 33 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 33 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 33 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 33 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 33 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 1 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 1 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 1 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 34 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 34 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 34 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 34 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 34 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 34 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 36 24 25 7 35 11 28 36 ⟶ 11 30 28 10 27 29 12 0 1 30 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23, 24 ↦ 24, 25 ↦ 25, 26 ↦ 26, 27 ↦ 27, 28 ↦ 28, 29 ↦ 29, 30 ↦ 30, 31 ↦ 31, 32 ↦ 32, 33 ↦ 33, 34 ↦ 34, 35 ↦ 35, 36 ↦ 36 }, it remains to prove termination of the 42-rule system { 0 1 2 3 4 0 ⟶ 5 6 7 1 8 9 10 11 12 0 7 , 13 14 15 15 15 5 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 5 , 13 14 15 15 15 0 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 0 , 13 14 15 15 15 20 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 20 , 21 22 14 5 4 5 9 ⟶ 23 24 25 26 21 22 27 16 9 11 28 , 29 2 18 26 24 28 27 ⟶ 29 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 30 2 18 26 24 28 27 ⟶ 30 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 24 2 18 26 24 28 27 ⟶ 24 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 11 2 18 26 24 28 27 ⟶ 11 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 33 2 18 26 24 28 27 ⟶ 33 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 1 2 18 26 24 28 27 ⟶ 1 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 34 2 18 26 24 28 27 ⟶ 34 30 30 2 13 31 1 25 32 15 5 , 8 29 28 31 1 12 5 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 5 , 8 29 28 31 1 12 33 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 33 , 8 29 28 31 1 12 17 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 17 , 8 29 28 31 1 12 22 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 22 , 8 29 28 31 1 12 15 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 15 , 8 29 28 31 1 12 0 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 0 , 8 29 28 31 1 12 20 ⟶ 28 27 6 35 10 27 9 36 3 4 20 , 17 3 6 26 23 23 3 9 ⟶ 0 19 16 29 8 6 7 35 10 11 28 , 29 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 29 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 29 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 29 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 29 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 29 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 30 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 30 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 30 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 24 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 24 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 24 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 24 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 24 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 24 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 11 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 11 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 11 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 33 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 33 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 33 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 33 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 33 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 33 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 1 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 1 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 1 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 34 25 35 11 28 11 8 16 ⟶ 34 30 8 9 14 15 5 16 16 9 27 , 34 25 35 11 28 11 8 9 ⟶ 34 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 34 25 35 11 28 11 8 6 ⟶ 34 30 8 9 14 15 5 16 16 9 31 , 36 24 25 7 35 11 28 36 ⟶ 11 30 28 10 27 29 12 0 1 30 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 21 ↦ 20, 22 ↦ 21, 23 ↦ 22, 24 ↦ 23, 25 ↦ 24, 26 ↦ 25, 27 ↦ 26, 28 ↦ 27, 29 ↦ 28, 30 ↦ 29, 31 ↦ 30, 32 ↦ 31, 33 ↦ 32, 34 ↦ 33, 35 ↦ 34, 36 ↦ 35, 20 ↦ 36 }, it remains to prove termination of the 41-rule system { 0 1 2 3 4 0 ⟶ 5 6 7 1 8 9 10 11 12 0 7 , 13 14 15 15 15 5 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 5 , 13 14 15 15 15 0 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 0 , 20 21 14 5 4 5 9 ⟶ 22 23 24 25 20 21 26 16 9 11 27 , 28 2 18 25 23 27 26 ⟶ 28 29 29 2 13 30 1 24 31 15 5 , 29 2 18 25 23 27 26 ⟶ 29 29 29 2 13 30 1 24 31 15 5 , 23 2 18 25 23 27 26 ⟶ 23 29 29 2 13 30 1 24 31 15 5 , 11 2 18 25 23 27 26 ⟶ 11 29 29 2 13 30 1 24 31 15 5 , 32 2 18 25 23 27 26 ⟶ 32 29 29 2 13 30 1 24 31 15 5 , 1 2 18 25 23 27 26 ⟶ 1 29 29 2 13 30 1 24 31 15 5 , 33 2 18 25 23 27 26 ⟶ 33 29 29 2 13 30 1 24 31 15 5 , 8 28 27 30 1 12 5 ⟶ 27 26 6 34 10 26 9 35 3 4 5 , 8 28 27 30 1 12 32 ⟶ 27 26 6 34 10 26 9 35 3 4 32 , 8 28 27 30 1 12 17 ⟶ 27 26 6 34 10 26 9 35 3 4 17 , 8 28 27 30 1 12 21 ⟶ 27 26 6 34 10 26 9 35 3 4 21 , 8 28 27 30 1 12 15 ⟶ 27 26 6 34 10 26 9 35 3 4 15 , 8 28 27 30 1 12 0 ⟶ 27 26 6 34 10 26 9 35 3 4 0 , 8 28 27 30 1 12 36 ⟶ 27 26 6 34 10 26 9 35 3 4 36 , 17 3 6 25 22 22 3 9 ⟶ 0 19 16 28 8 6 7 34 10 11 27 , 28 24 34 11 27 11 8 16 ⟶ 28 29 8 9 14 15 5 16 16 9 26 , 28 24 34 11 27 11 8 9 ⟶ 28 29 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 28 24 34 11 27 11 8 6 ⟶ 28 29 8 9 14 15 5 16 16 9 30 , 29 24 34 11 27 11 8 16 ⟶ 29 29 8 9 14 15 5 16 16 9 26 , 29 24 34 11 27 11 8 9 ⟶ 29 29 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 29 24 34 11 27 11 8 6 ⟶ 29 29 8 9 14 15 5 16 16 9 30 , 23 24 34 11 27 11 8 16 ⟶ 23 29 8 9 14 15 5 16 16 9 26 , 23 24 34 11 27 11 8 9 ⟶ 23 29 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 23 24 34 11 27 11 8 6 ⟶ 23 29 8 9 14 15 5 16 16 9 30 , 11 24 34 11 27 11 8 16 ⟶ 11 29 8 9 14 15 5 16 16 9 26 , 11 24 34 11 27 11 8 9 ⟶ 11 29 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 11 24 34 11 27 11 8 6 ⟶ 11 29 8 9 14 15 5 16 16 9 30 , 32 24 34 11 27 11 8 16 ⟶ 32 29 8 9 14 15 5 16 16 9 26 , 32 24 34 11 27 11 8 9 ⟶ 32 29 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 32 24 34 11 27 11 8 6 ⟶ 32 29 8 9 14 15 5 16 16 9 30 , 1 24 34 11 27 11 8 16 ⟶ 1 29 8 9 14 15 5 16 16 9 26 , 1 24 34 11 27 11 8 9 ⟶ 1 29 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 1 24 34 11 27 11 8 6 ⟶ 1 29 8 9 14 15 5 16 16 9 30 , 33 24 34 11 27 11 8 16 ⟶ 33 29 8 9 14 15 5 16 16 9 26 , 33 24 34 11 27 11 8 9 ⟶ 33 29 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 33 24 34 11 27 11 8 6 ⟶ 33 29 8 9 14 15 5 16 16 9 30 , 35 23 24 7 34 11 27 35 ⟶ 11 29 27 10 26 28 12 0 1 29 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 8: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 28 ↦ 20, 25 ↦ 21, 23 ↦ 22, 27 ↦ 23, 26 ↦ 24, 29 ↦ 25, 30 ↦ 26, 24 ↦ 27, 31 ↦ 28, 32 ↦ 29, 33 ↦ 30, 34 ↦ 31, 35 ↦ 32, 21 ↦ 33, 36 ↦ 34, 22 ↦ 35 }, it remains to prove termination of the 40-rule system { 0 1 2 3 4 0 ⟶ 5 6 7 1 8 9 10 11 12 0 7 , 13 14 15 15 15 5 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 5 , 13 14 15 15 15 0 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 0 , 20 2 18 21 22 23 24 ⟶ 20 25 25 2 13 26 1 27 28 15 5 , 25 2 18 21 22 23 24 ⟶ 25 25 25 2 13 26 1 27 28 15 5 , 22 2 18 21 22 23 24 ⟶ 22 25 25 2 13 26 1 27 28 15 5 , 11 2 18 21 22 23 24 ⟶ 11 25 25 2 13 26 1 27 28 15 5 , 29 2 18 21 22 23 24 ⟶ 29 25 25 2 13 26 1 27 28 15 5 , 1 2 18 21 22 23 24 ⟶ 1 25 25 2 13 26 1 27 28 15 5 , 30 2 18 21 22 23 24 ⟶ 30 25 25 2 13 26 1 27 28 15 5 , 8 20 23 26 1 12 5 ⟶ 23 24 6 31 10 24 9 32 3 4 5 , 8 20 23 26 1 12 29 ⟶ 23 24 6 31 10 24 9 32 3 4 29 , 8 20 23 26 1 12 17 ⟶ 23 24 6 31 10 24 9 32 3 4 17 , 8 20 23 26 1 12 33 ⟶ 23 24 6 31 10 24 9 32 3 4 33 , 8 20 23 26 1 12 15 ⟶ 23 24 6 31 10 24 9 32 3 4 15 , 8 20 23 26 1 12 0 ⟶ 23 24 6 31 10 24 9 32 3 4 0 , 8 20 23 26 1 12 34 ⟶ 23 24 6 31 10 24 9 32 3 4 34 , 17 3 6 21 35 35 3 9 ⟶ 0 19 16 20 8 6 7 31 10 11 23 , 20 27 31 11 23 11 8 16 ⟶ 20 25 8 9 14 15 5 16 16 9 24 , 20 27 31 11 23 11 8 9 ⟶ 20 25 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 20 27 31 11 23 11 8 6 ⟶ 20 25 8 9 14 15 5 16 16 9 26 , 25 27 31 11 23 11 8 16 ⟶ 25 25 8 9 14 15 5 16 16 9 24 , 25 27 31 11 23 11 8 9 ⟶ 25 25 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 25 27 31 11 23 11 8 6 ⟶ 25 25 8 9 14 15 5 16 16 9 26 , 22 27 31 11 23 11 8 16 ⟶ 22 25 8 9 14 15 5 16 16 9 24 , 22 27 31 11 23 11 8 9 ⟶ 22 25 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 22 27 31 11 23 11 8 6 ⟶ 22 25 8 9 14 15 5 16 16 9 26 , 11 27 31 11 23 11 8 16 ⟶ 11 25 8 9 14 15 5 16 16 9 24 , 11 27 31 11 23 11 8 9 ⟶ 11 25 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 11 27 31 11 23 11 8 6 ⟶ 11 25 8 9 14 15 5 16 16 9 26 , 29 27 31 11 23 11 8 16 ⟶ 29 25 8 9 14 15 5 16 16 9 24 , 29 27 31 11 23 11 8 9 ⟶ 29 25 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 29 27 31 11 23 11 8 6 ⟶ 29 25 8 9 14 15 5 16 16 9 26 , 1 27 31 11 23 11 8 16 ⟶ 1 25 8 9 14 15 5 16 16 9 24 , 1 27 31 11 23 11 8 9 ⟶ 1 25 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 1 27 31 11 23 11 8 6 ⟶ 1 25 8 9 14 15 5 16 16 9 26 , 30 27 31 11 23 11 8 16 ⟶ 30 25 8 9 14 15 5 16 16 9 24 , 30 27 31 11 23 11 8 9 ⟶ 30 25 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 30 27 31 11 23 11 8 6 ⟶ 30 25 8 9 14 15 5 16 16 9 26 , 32 22 27 7 31 11 23 32 ⟶ 11 25 23 10 24 20 12 0 1 25 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 23 ↦ 21, 26 ↦ 22, 24 ↦ 23, 31 ↦ 24, 32 ↦ 25, 29 ↦ 26, 33 ↦ 27, 34 ↦ 28, 27 ↦ 29, 25 ↦ 30, 22 ↦ 31, 30 ↦ 32 }, it remains to prove termination of the 31-rule system { 0 1 2 3 4 0 ⟶ 5 6 7 1 8 9 10 11 12 0 7 , 13 14 15 15 15 5 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 5 , 13 14 15 15 15 0 ⟶ 3 16 4 17 18 7 19 9 10 14 0 , 8 20 21 22 1 12 5 ⟶ 21 23 6 24 10 23 9 25 3 4 5 , 8 20 21 22 1 12 26 ⟶ 21 23 6 24 10 23 9 25 3 4 26 , 8 20 21 22 1 12 17 ⟶ 21 23 6 24 10 23 9 25 3 4 17 , 8 20 21 22 1 12 27 ⟶ 21 23 6 24 10 23 9 25 3 4 27 , 8 20 21 22 1 12 15 ⟶ 21 23 6 24 10 23 9 25 3 4 15 , 8 20 21 22 1 12 0 ⟶ 21 23 6 24 10 23 9 25 3 4 0 , 8 20 21 22 1 12 28 ⟶ 21 23 6 24 10 23 9 25 3 4 28 , 20 29 24 11 21 11 8 16 ⟶ 20 30 8 9 14 15 5 16 16 9 23 , 20 29 24 11 21 11 8 9 ⟶ 20 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 20 29 24 11 21 11 8 6 ⟶ 20 30 8 9 14 15 5 16 16 9 22 , 30 29 24 11 21 11 8 16 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 23 , 30 29 24 11 21 11 8 9 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 30 29 24 11 21 11 8 6 ⟶ 30 30 8 9 14 15 5 16 16 9 22 , 31 29 24 11 21 11 8 16 ⟶ 31 30 8 9 14 15 5 16 16 9 23 , 31 29 24 11 21 11 8 9 ⟶ 31 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 31 29 24 11 21 11 8 6 ⟶ 31 30 8 9 14 15 5 16 16 9 22 , 11 29 24 11 21 11 8 16 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 23 , 11 29 24 11 21 11 8 9 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 11 29 24 11 21 11 8 6 ⟶ 11 30 8 9 14 15 5 16 16 9 22 , 26 29 24 11 21 11 8 16 ⟶ 26 30 8 9 14 15 5 16 16 9 23 , 26 29 24 11 21 11 8 9 ⟶ 26 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 26 29 24 11 21 11 8 6 ⟶ 26 30 8 9 14 15 5 16 16 9 22 , 1 29 24 11 21 11 8 16 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 23 , 1 29 24 11 21 11 8 9 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 1 29 24 11 21 11 8 6 ⟶ 1 30 8 9 14 15 5 16 16 9 22 , 32 29 24 11 21 11 8 16 ⟶ 32 30 8 9 14 15 5 16 16 9 23 , 32 29 24 11 21 11 8 9 ⟶ 32 30 8 9 14 15 5 16 16 9 10 , 32 29 24 11 21 11 8 6 ⟶ 32 30 8 9 14 15 5 16 16 9 22 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12 }, it remains to prove termination of the 1-rule system { 0 1 2 3 4 0 ⟶ 5 6 7 1 8 9 10 11 12 0 7 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.