/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { a ↦ 0, b ↦ 1 }, it remains to prove termination of the 3-rule system { 0 1 0 ⟶ 1 1 0 , 1 1 1 ⟶ 1 0 , 1 1 ⟶ 0 0 0 } Applying the dependency pairs transformation. Here, ↑ marks so-called defined symbols. After renaming modulo the bijection { (0,↑) ↦ 0, (1,↓) ↦ 1, (0,↓) ↦ 2, (1,↑) ↦ 3 }, it remains to prove termination of the 9-rule system { 0 1 2 ⟶ 3 1 2 , 3 1 1 ⟶ 3 2 , 3 1 1 ⟶ 0 , 3 1 ⟶ 0 2 2 , 3 1 ⟶ 0 2 , 3 1 ⟶ 0 , 2 1 2 →= 1 1 2 , 1 1 1 →= 1 2 , 1 1 →= 2 2 2 } Applying sparse tiling TROC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (4,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,2) ↦ 2, (2,1) ↦ 3, (4,3) ↦ 4, (3,1) ↦ 5, (2,2) ↦ 6, (2,5) ↦ 7, (1,1) ↦ 8, (3,2) ↦ 9, (0,2) ↦ 10, (4,2) ↦ 11, (4,1) ↦ 12 }, it remains to prove termination of the 48-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 4 5 2 3 , 0 1 2 6 ⟶ 4 5 2 6 , 0 1 2 7 ⟶ 4 5 2 7 , 4 5 8 8 ⟶ 4 9 3 , 4 5 8 2 ⟶ 4 9 6 , 4 5 8 8 ⟶ 0 1 , 4 5 8 2 ⟶ 0 10 , 4 5 8 ⟶ 0 10 6 3 , 4 5 2 ⟶ 0 10 6 6 , 4 5 8 ⟶ 0 10 3 , 4 5 2 ⟶ 0 10 6 , 4 5 8 ⟶ 0 1 , 4 5 2 ⟶ 0 10 , 10 3 2 3 →= 1 8 2 3 , 10 3 2 6 →= 1 8 2 6 , 10 3 2 7 →= 1 8 2 7 , 2 3 2 3 →= 8 8 2 3 , 2 3 2 6 →= 8 8 2 6 , 2 3 2 7 →= 8 8 2 7 , 6 3 2 3 →= 3 8 2 3 , 6 3 2 6 →= 3 8 2 6 , 6 3 2 7 →= 3 8 2 7 , 9 3 2 3 →= 5 8 2 3 , 9 3 2 6 →= 5 8 2 6 , 9 3 2 7 →= 5 8 2 7 , 11 3 2 3 →= 12 8 2 3 , 11 3 2 6 →= 12 8 2 6 , 11 3 2 7 →= 12 8 2 7 , 1 8 8 8 →= 1 2 3 , 1 8 8 2 →= 1 2 6 , 8 8 8 8 →= 8 2 3 , 8 8 8 2 →= 8 2 6 , 3 8 8 8 →= 3 2 3 , 3 8 8 2 →= 3 2 6 , 5 8 8 8 →= 5 2 3 , 5 8 8 2 →= 5 2 6 , 12 8 8 8 →= 12 2 3 , 12 8 8 2 →= 12 2 6 , 1 8 8 →= 10 6 6 3 , 1 8 2 →= 10 6 6 6 , 8 8 8 →= 2 6 6 3 , 8 8 2 →= 2 6 6 6 , 3 8 8 →= 6 6 6 3 , 3 8 2 →= 6 6 6 6 , 5 8 8 →= 9 6 6 3 , 5 8 2 →= 9 6 6 6 , 12 8 8 →= 11 6 6 3 , 12 8 2 →= 11 6 6 6 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12 }, it remains to prove termination of the 47-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 4 5 2 3 , 0 1 2 6 ⟶ 4 5 2 6 , 0 1 2 7 ⟶ 4 5 2 7 , 4 5 8 8 ⟶ 4 9 3 , 4 5 8 2 ⟶ 4 9 6 , 4 5 8 8 ⟶ 0 1 , 4 5 8 2 ⟶ 0 10 , 4 5 8 ⟶ 0 10 6 3 , 4 5 2 ⟶ 0 10 6 6 , 4 5 8 ⟶ 0 10 3 , 4 5 2 ⟶ 0 10 6 , 4 5 8 ⟶ 0 1 , 4 5 2 ⟶ 0 10 , 10 3 2 3 →= 1 8 2 3 , 10 3 2 6 →= 1 8 2 6 , 10 3 2 7 →= 1 8 2 7 , 2 3 2 3 →= 8 8 2 3 , 2 3 2 6 →= 8 8 2 6 , 2 3 2 7 →= 8 8 2 7 , 6 3 2 3 →= 3 8 2 3 , 6 3 2 6 →= 3 8 2 6 , 6 3 2 7 →= 3 8 2 7 , 9 3 2 3 →= 5 8 2 3 , 9 3 2 6 →= 5 8 2 6 , 9 3 2 7 →= 5 8 2 7 , 11 3 2 3 →= 12 8 2 3 , 11 3 2 6 →= 12 8 2 6 , 1 8 8 8 →= 1 2 3 , 1 8 8 2 →= 1 2 6 , 8 8 8 8 →= 8 2 3 , 8 8 8 2 →= 8 2 6 , 3 8 8 8 →= 3 2 3 , 3 8 8 2 →= 3 2 6 , 5 8 8 8 →= 5 2 3 , 5 8 8 2 →= 5 2 6 , 12 8 8 8 →= 12 2 3 , 12 8 8 2 →= 12 2 6 , 1 8 8 →= 10 6 6 3 , 1 8 2 →= 10 6 6 6 , 8 8 8 →= 2 6 6 3 , 8 8 2 →= 2 6 6 6 , 3 8 8 →= 6 6 6 3 , 3 8 2 →= 6 6 6 6 , 5 8 8 →= 9 6 6 3 , 5 8 2 →= 9 6 6 6 , 12 8 8 →= 11 6 6 3 , 12 8 2 →= 11 6 6 6 } Applying sparse tiling TROC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (13,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,2) ↦ 2, (2,3) ↦ 3, (3,2) ↦ 4, (13,4) ↦ 5, (4,5) ↦ 6, (5,2) ↦ 7, (3,8) ↦ 8, (3,14) ↦ 9, (2,6) ↦ 10, (6,3) ↦ 11, (6,6) ↦ 12, (6,7) ↦ 13, (6,14) ↦ 14, (2,7) ↦ 15, (7,14) ↦ 16, (5,8) ↦ 17, (8,8) ↦ 18, (8,2) ↦ 19, (4,9) ↦ 20, (9,3) ↦ 21, (9,6) ↦ 22, (1,8) ↦ 23, (0,10) ↦ 24, (10,3) ↦ 25, (10,6) ↦ 26, (10,7) ↦ 27, (13,10) ↦ 28, (13,1) ↦ 29, (12,2) ↦ 30, (12,8) ↦ 31, (13,2) ↦ 32, (13,8) ↦ 33, (11,6) ↦ 34, (11,3) ↦ 35, (13,6) ↦ 36, (13,3) ↦ 37, (13,9) ↦ 38, (13,5) ↦ 39, (13,11) ↦ 40, (13,12) ↦ 41 }, it remains to prove termination of the 338-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 5 6 7 3 4 , 0 1 2 3 8 ⟶ 5 6 7 3 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 5 6 7 3 9 , 0 1 2 10 11 ⟶ 5 6 7 10 11 , 0 1 2 10 12 ⟶ 5 6 7 10 12 , 0 1 2 10 13 ⟶ 5 6 7 10 13 , 0 1 2 10 14 ⟶ 5 6 7 10 14 , 0 1 2 15 16 ⟶ 5 6 7 15 16 , 5 6 17 18 19 ⟶ 5 20 21 4 , 5 6 17 18 18 ⟶ 5 20 21 8 , 5 6 17 19 3 ⟶ 5 20 22 11 , 5 6 17 19 10 ⟶ 5 20 22 12 , 5 6 17 19 15 ⟶ 5 20 22 13 , 5 6 17 18 19 ⟶ 0 1 2 , 5 6 17 18 18 ⟶ 0 1 23 , 5 6 17 19 3 ⟶ 0 24 25 , 5 6 17 19 10 ⟶ 0 24 26 , 5 6 17 19 15 ⟶ 0 24 27 , 5 6 17 19 ⟶ 0 24 26 11 4 , 5 6 17 18 ⟶ 0 24 26 11 8 , 5 6 7 3 ⟶ 0 24 26 12 11 , 5 6 7 10 ⟶ 0 24 26 12 12 , 5 6 7 15 ⟶ 0 24 26 12 13 , 5 6 17 19 ⟶ 0 24 25 4 , 5 6 17 18 ⟶ 0 24 25 8 , 5 6 7 3 ⟶ 0 24 26 11 , 5 6 7 10 ⟶ 0 24 26 12 , 5 6 7 15 ⟶ 0 24 26 13 , 5 6 17 19 ⟶ 0 1 2 , 5 6 17 18 ⟶ 0 1 23 , 5 6 7 3 ⟶ 0 24 25 , 5 6 7 10 ⟶ 0 24 26 , 5 6 7 15 ⟶ 0 24 27 , 24 25 4 3 4 →= 1 23 19 3 4 , 24 25 4 3 8 →= 1 23 19 3 8 , 24 25 4 3 9 →= 1 23 19 3 9 , 28 25 4 3 4 →= 29 23 19 3 4 , 28 25 4 3 8 →= 29 23 19 3 8 , 28 25 4 3 9 →= 29 23 19 3 9 , 24 25 4 10 11 →= 1 23 19 10 11 , 24 25 4 10 12 →= 1 23 19 10 12 , 24 25 4 10 13 →= 1 23 19 10 13 , 24 25 4 10 14 →= 1 23 19 10 14 , 28 25 4 10 11 →= 29 23 19 10 11 , 28 25 4 10 12 →= 29 23 19 10 12 , 28 25 4 10 13 →= 29 23 19 10 13 , 28 25 4 10 14 →= 29 23 19 10 14 , 24 25 4 15 16 →= 1 23 19 15 16 , 28 25 4 15 16 →= 29 23 19 15 16 , 2 3 4 3 4 →= 23 18 19 3 4 , 2 3 4 3 8 →= 23 18 19 3 8 , 2 3 4 3 9 →= 23 18 19 3 9 , 4 3 4 3 4 →= 8 18 19 3 4 , 4 3 4 3 8 →= 8 18 19 3 8 , 4 3 4 3 9 →= 8 18 19 3 9 , 7 3 4 3 4 →= 17 18 19 3 4 , 7 3 4 3 8 →= 17 18 19 3 8 , 7 3 4 3 9 →= 17 18 19 3 9 , 19 3 4 3 4 →= 18 18 19 3 4 , 19 3 4 3 8 →= 18 18 19 3 8 , 19 3 4 3 9 →= 18 18 19 3 9 , 30 3 4 3 4 →= 31 18 19 3 4 , 30 3 4 3 8 →= 31 18 19 3 8 , 30 3 4 3 9 →= 31 18 19 3 9 , 32 3 4 3 4 →= 33 18 19 3 4 , 32 3 4 3 8 →= 33 18 19 3 8 , 32 3 4 3 9 →= 33 18 19 3 9 , 2 3 4 10 11 →= 23 18 19 10 11 , 2 3 4 10 12 →= 23 18 19 10 12 , 2 3 4 10 13 →= 23 18 19 10 13 , 2 3 4 10 14 →= 23 18 19 10 14 , 4 3 4 10 11 →= 8 18 19 10 11 , 4 3 4 10 12 →= 8 18 19 10 12 , 4 3 4 10 13 →= 8 18 19 10 13 , 4 3 4 10 14 →= 8 18 19 10 14 , 7 3 4 10 11 →= 17 18 19 10 11 , 7 3 4 10 12 →= 17 18 19 10 12 , 7 3 4 10 13 →= 17 18 19 10 13 , 7 3 4 10 14 →= 17 18 19 10 14 , 19 3 4 10 11 →= 18 18 19 10 11 , 19 3 4 10 12 →= 18 18 19 10 12 , 19 3 4 10 13 →= 18 18 19 10 13 , 19 3 4 10 14 →= 18 18 19 10 14 , 30 3 4 10 11 →= 31 18 19 10 11 , 30 3 4 10 12 →= 31 18 19 10 12 , 30 3 4 10 13 →= 31 18 19 10 13 , 30 3 4 10 14 →= 31 18 19 10 14 , 32 3 4 10 11 →= 33 18 19 10 11 , 32 3 4 10 12 →= 33 18 19 10 12 , 32 3 4 10 13 →= 33 18 19 10 13 , 32 3 4 10 14 →= 33 18 19 10 14 , 2 3 4 15 16 →= 23 18 19 15 16 , 4 3 4 15 16 →= 8 18 19 15 16 , 7 3 4 15 16 →= 17 18 19 15 16 , 19 3 4 15 16 →= 18 18 19 15 16 , 30 3 4 15 16 →= 31 18 19 15 16 , 32 3 4 15 16 →= 33 18 19 15 16 , 10 11 4 3 4 →= 3 8 19 3 4 , 10 11 4 3 8 →= 3 8 19 3 8 , 10 11 4 3 9 →= 3 8 19 3 9 , 12 11 4 3 4 →= 11 8 19 3 4 , 12 11 4 3 8 →= 11 8 19 3 8 , 12 11 4 3 9 →= 11 8 19 3 9 , 22 11 4 3 4 →= 21 8 19 3 4 , 22 11 4 3 8 →= 21 8 19 3 8 , 22 11 4 3 9 →= 21 8 19 3 9 , 26 11 4 3 4 →= 25 8 19 3 4 , 26 11 4 3 8 →= 25 8 19 3 8 , 26 11 4 3 9 →= 25 8 19 3 9 , 34 11 4 3 4 →= 35 8 19 3 4 , 34 11 4 3 8 →= 35 8 19 3 8 , 34 11 4 3 9 →= 35 8 19 3 9 , 36 11 4 3 4 →= 37 8 19 3 4 , 36 11 4 3 8 →= 37 8 19 3 8 , 36 11 4 3 9 →= 37 8 19 3 9 , 10 11 4 10 11 →= 3 8 19 10 11 , 10 11 4 10 12 →= 3 8 19 10 12 , 10 11 4 10 13 →= 3 8 19 10 13 , 10 11 4 10 14 →= 3 8 19 10 14 , 12 11 4 10 11 →= 11 8 19 10 11 , 12 11 4 10 12 →= 11 8 19 10 12 , 12 11 4 10 13 →= 11 8 19 10 13 , 12 11 4 10 14 →= 11 8 19 10 14 , 22 11 4 10 11 →= 21 8 19 10 11 , 22 11 4 10 12 →= 21 8 19 10 12 , 22 11 4 10 13 →= 21 8 19 10 13 , 22 11 4 10 14 →= 21 8 19 10 14 , 26 11 4 10 11 →= 25 8 19 10 11 , 26 11 4 10 12 →= 25 8 19 10 12 , 26 11 4 10 13 →= 25 8 19 10 13 , 26 11 4 10 14 →= 25 8 19 10 14 , 34 11 4 10 11 →= 35 8 19 10 11 , 34 11 4 10 12 →= 35 8 19 10 12 , 34 11 4 10 13 →= 35 8 19 10 13 , 34 11 4 10 14 →= 35 8 19 10 14 , 36 11 4 10 11 →= 37 8 19 10 11 , 36 11 4 10 12 →= 37 8 19 10 12 , 36 11 4 10 13 →= 37 8 19 10 13 , 36 11 4 10 14 →= 37 8 19 10 14 , 10 11 4 15 16 →= 3 8 19 15 16 , 12 11 4 15 16 →= 11 8 19 15 16 , 22 11 4 15 16 →= 21 8 19 15 16 , 26 11 4 15 16 →= 25 8 19 15 16 , 34 11 4 15 16 →= 35 8 19 15 16 , 36 11 4 15 16 →= 37 8 19 15 16 , 20 21 4 3 4 →= 6 17 19 3 4 , 20 21 4 3 8 →= 6 17 19 3 8 , 20 21 4 3 9 →= 6 17 19 3 9 , 38 21 4 3 4 →= 39 17 19 3 4 , 38 21 4 3 8 →= 39 17 19 3 8 , 38 21 4 3 9 →= 39 17 19 3 9 , 20 21 4 10 11 →= 6 17 19 10 11 , 20 21 4 10 12 →= 6 17 19 10 12 , 20 21 4 10 13 →= 6 17 19 10 13 , 20 21 4 10 14 →= 6 17 19 10 14 , 38 21 4 10 11 →= 39 17 19 10 11 , 38 21 4 10 12 →= 39 17 19 10 12 , 38 21 4 10 13 →= 39 17 19 10 13 , 38 21 4 10 14 →= 39 17 19 10 14 , 20 21 4 15 16 →= 6 17 19 15 16 , 38 21 4 15 16 →= 39 17 19 15 16 , 40 35 4 3 4 →= 41 31 19 3 4 , 40 35 4 3 8 →= 41 31 19 3 8 , 40 35 4 3 9 →= 41 31 19 3 9 , 40 35 4 10 11 →= 41 31 19 10 11 , 40 35 4 10 12 →= 41 31 19 10 12 , 40 35 4 10 13 →= 41 31 19 10 13 , 40 35 4 10 14 →= 41 31 19 10 14 , 1 23 18 18 19 →= 1 2 3 4 , 1 23 18 18 18 →= 1 2 3 8 , 29 23 18 18 19 →= 29 2 3 4 , 29 23 18 18 18 →= 29 2 3 8 , 1 23 18 19 3 →= 1 2 10 11 , 1 23 18 19 10 →= 1 2 10 12 , 1 23 18 19 15 →= 1 2 10 13 , 29 23 18 19 3 →= 29 2 10 11 , 29 23 18 19 10 →= 29 2 10 12 , 29 23 18 19 15 →= 29 2 10 13 , 23 18 18 18 19 →= 23 19 3 4 , 23 18 18 18 18 →= 23 19 3 8 , 8 18 18 18 19 →= 8 19 3 4 , 8 18 18 18 18 →= 8 19 3 8 , 17 18 18 18 19 →= 17 19 3 4 , 17 18 18 18 18 →= 17 19 3 8 , 18 18 18 18 19 →= 18 19 3 4 , 18 18 18 18 18 →= 18 19 3 8 , 31 18 18 18 19 →= 31 19 3 4 , 31 18 18 18 18 →= 31 19 3 8 , 33 18 18 18 19 →= 33 19 3 4 , 33 18 18 18 18 →= 33 19 3 8 , 23 18 18 19 3 →= 23 19 10 11 , 23 18 18 19 10 →= 23 19 10 12 , 23 18 18 19 15 →= 23 19 10 13 , 8 18 18 19 3 →= 8 19 10 11 , 8 18 18 19 10 →= 8 19 10 12 , 8 18 18 19 15 →= 8 19 10 13 , 17 18 18 19 3 →= 17 19 10 11 , 17 18 18 19 10 →= 17 19 10 12 , 17 18 18 19 15 →= 17 19 10 13 , 18 18 18 19 3 →= 18 19 10 11 , 18 18 18 19 10 →= 18 19 10 12 , 18 18 18 19 15 →= 18 19 10 13 , 31 18 18 19 3 →= 31 19 10 11 , 31 18 18 19 10 →= 31 19 10 12 , 31 18 18 19 15 →= 31 19 10 13 , 33 18 18 19 3 →= 33 19 10 11 , 33 18 18 19 10 →= 33 19 10 12 , 33 18 18 19 15 →= 33 19 10 13 , 3 8 18 18 19 →= 3 4 3 4 , 3 8 18 18 18 →= 3 4 3 8 , 11 8 18 18 19 →= 11 4 3 4 , 11 8 18 18 18 →= 11 4 3 8 , 21 8 18 18 19 →= 21 4 3 4 , 21 8 18 18 18 →= 21 4 3 8 , 25 8 18 18 19 →= 25 4 3 4 , 25 8 18 18 18 →= 25 4 3 8 , 35 8 18 18 19 →= 35 4 3 4 , 35 8 18 18 18 →= 35 4 3 8 , 37 8 18 18 19 →= 37 4 3 4 , 37 8 18 18 18 →= 37 4 3 8 , 3 8 18 19 3 →= 3 4 10 11 , 3 8 18 19 10 →= 3 4 10 12 , 3 8 18 19 15 →= 3 4 10 13 , 11 8 18 19 3 →= 11 4 10 11 , 11 8 18 19 10 →= 11 4 10 12 , 11 8 18 19 15 →= 11 4 10 13 , 21 8 18 19 3 →= 21 4 10 11 , 21 8 18 19 10 →= 21 4 10 12 , 21 8 18 19 15 →= 21 4 10 13 , 25 8 18 19 3 →= 25 4 10 11 , 25 8 18 19 10 →= 25 4 10 12 , 25 8 18 19 15 →= 25 4 10 13 , 35 8 18 19 3 →= 35 4 10 11 , 35 8 18 19 10 →= 35 4 10 12 , 35 8 18 19 15 →= 35 4 10 13 , 37 8 18 19 3 →= 37 4 10 11 , 37 8 18 19 10 →= 37 4 10 12 , 37 8 18 19 15 →= 37 4 10 13 , 6 17 18 18 19 →= 6 7 3 4 , 6 17 18 18 18 →= 6 7 3 8 , 39 17 18 18 19 →= 39 7 3 4 , 39 17 18 18 18 →= 39 7 3 8 , 6 17 18 19 3 →= 6 7 10 11 , 6 17 18 19 10 →= 6 7 10 12 , 6 17 18 19 15 →= 6 7 10 13 , 39 17 18 19 3 →= 39 7 10 11 , 39 17 18 19 10 →= 39 7 10 12 , 39 17 18 19 15 →= 39 7 10 13 , 41 31 18 18 19 →= 41 30 3 4 , 41 31 18 18 18 →= 41 30 3 8 , 41 31 18 19 3 →= 41 30 10 11 , 41 31 18 19 10 →= 41 30 10 12 , 41 31 18 19 15 →= 41 30 10 13 , 1 23 18 19 →= 24 26 12 11 4 , 1 23 18 18 →= 24 26 12 11 8 , 29 23 18 19 →= 28 26 12 11 4 , 29 23 18 18 →= 28 26 12 11 8 , 1 23 19 3 →= 24 26 12 12 11 , 1 23 19 10 →= 24 26 12 12 12 , 1 23 19 15 →= 24 26 12 12 13 , 29 23 19 3 →= 28 26 12 12 11 , 29 23 19 10 →= 28 26 12 12 12 , 29 23 19 15 →= 28 26 12 12 13 , 23 18 18 19 →= 2 10 12 11 4 , 23 18 18 18 →= 2 10 12 11 8 , 8 18 18 19 →= 4 10 12 11 4 , 8 18 18 18 →= 4 10 12 11 8 , 17 18 18 19 →= 7 10 12 11 4 , 17 18 18 18 →= 7 10 12 11 8 , 18 18 18 19 →= 19 10 12 11 4 , 18 18 18 18 →= 19 10 12 11 8 , 31 18 18 19 →= 30 10 12 11 4 , 31 18 18 18 →= 30 10 12 11 8 , 33 18 18 19 →= 32 10 12 11 4 , 33 18 18 18 →= 32 10 12 11 8 , 23 18 19 3 →= 2 10 12 12 11 , 23 18 19 10 →= 2 10 12 12 12 , 23 18 19 15 →= 2 10 12 12 13 , 8 18 19 3 →= 4 10 12 12 11 , 8 18 19 10 →= 4 10 12 12 12 , 8 18 19 15 →= 4 10 12 12 13 , 17 18 19 3 →= 7 10 12 12 11 , 17 18 19 10 →= 7 10 12 12 12 , 17 18 19 15 →= 7 10 12 12 13 , 18 18 19 3 →= 19 10 12 12 11 , 18 18 19 10 →= 19 10 12 12 12 , 18 18 19 15 →= 19 10 12 12 13 , 31 18 19 3 →= 30 10 12 12 11 , 31 18 19 10 →= 30 10 12 12 12 , 31 18 19 15 →= 30 10 12 12 13 , 33 18 19 3 →= 32 10 12 12 11 , 33 18 19 10 →= 32 10 12 12 12 , 33 18 19 15 →= 32 10 12 12 13 , 3 8 18 19 →= 10 12 12 11 4 , 3 8 18 18 →= 10 12 12 11 8 , 11 8 18 19 →= 12 12 12 11 4 , 11 8 18 18 →= 12 12 12 11 8 , 21 8 18 19 →= 22 12 12 11 4 , 21 8 18 18 →= 22 12 12 11 8 , 25 8 18 19 →= 26 12 12 11 4 , 25 8 18 18 →= 26 12 12 11 8 , 35 8 18 19 →= 34 12 12 11 4 , 35 8 18 18 →= 34 12 12 11 8 , 37 8 18 19 →= 36 12 12 11 4 , 37 8 18 18 →= 36 12 12 11 8 , 3 8 19 3 →= 10 12 12 12 11 , 3 8 19 10 →= 10 12 12 12 12 , 3 8 19 15 →= 10 12 12 12 13 , 11 8 19 3 →= 12 12 12 12 11 , 11 8 19 10 →= 12 12 12 12 12 , 11 8 19 15 →= 12 12 12 12 13 , 21 8 19 3 →= 22 12 12 12 11 , 21 8 19 10 →= 22 12 12 12 12 , 21 8 19 15 →= 22 12 12 12 13 , 25 8 19 3 →= 26 12 12 12 11 , 25 8 19 10 →= 26 12 12 12 12 , 25 8 19 15 →= 26 12 12 12 13 , 35 8 19 3 →= 34 12 12 12 11 , 35 8 19 10 →= 34 12 12 12 12 , 35 8 19 15 →= 34 12 12 12 13 , 37 8 19 3 →= 36 12 12 12 11 , 37 8 19 10 →= 36 12 12 12 12 , 37 8 19 15 →= 36 12 12 12 13 , 6 17 18 19 →= 20 22 12 11 4 , 6 17 18 18 →= 20 22 12 11 8 , 39 17 18 19 →= 38 22 12 11 4 , 39 17 18 18 →= 38 22 12 11 8 , 6 17 19 3 →= 20 22 12 12 11 , 6 17 19 10 →= 20 22 12 12 12 , 6 17 19 15 →= 20 22 12 12 13 , 39 17 19 3 →= 38 22 12 12 11 , 39 17 19 10 →= 38 22 12 12 12 , 39 17 19 15 →= 38 22 12 12 13 , 41 31 18 19 →= 40 34 12 11 4 , 41 31 18 18 →= 40 34 12 11 8 , 41 31 19 3 →= 40 34 12 12 11 , 41 31 19 10 →= 40 34 12 12 12 , 41 31 19 15 →= 40 34 12 12 13 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23, 24 ↦ 24, 25 ↦ 25, 26 ↦ 26, 28 ↦ 27, 29 ↦ 28, 30 ↦ 29, 31 ↦ 30, 32 ↦ 31, 33 ↦ 32, 34 ↦ 33, 35 ↦ 34, 36 ↦ 35, 37 ↦ 36, 38 ↦ 37, 39 ↦ 38, 40 ↦ 39, 41 ↦ 40 }, it remains to prove termination of the 299-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 5 6 7 3 4 , 0 1 2 3 8 ⟶ 5 6 7 3 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 5 6 7 3 9 , 0 1 2 10 11 ⟶ 5 6 7 10 11 , 0 1 2 10 12 ⟶ 5 6 7 10 12 , 0 1 2 10 13 ⟶ 5 6 7 10 13 , 0 1 2 10 14 ⟶ 5 6 7 10 14 , 0 1 2 15 16 ⟶ 5 6 7 15 16 , 5 6 17 18 19 ⟶ 5 20 21 4 , 5 6 17 18 18 ⟶ 5 20 21 8 , 5 6 17 19 3 ⟶ 5 20 22 11 , 5 6 17 19 10 ⟶ 5 20 22 12 , 5 6 17 18 19 ⟶ 0 1 2 , 5 6 17 18 18 ⟶ 0 1 23 , 5 6 17 19 3 ⟶ 0 24 25 , 5 6 17 19 10 ⟶ 0 24 26 , 5 6 17 19 ⟶ 0 24 26 11 4 , 5 6 17 18 ⟶ 0 24 26 11 8 , 5 6 7 3 ⟶ 0 24 26 12 11 , 5 6 7 10 ⟶ 0 24 26 12 12 , 5 6 17 19 ⟶ 0 24 25 4 , 5 6 17 18 ⟶ 0 24 25 8 , 5 6 7 3 ⟶ 0 24 26 11 , 5 6 7 10 ⟶ 0 24 26 12 , 5 6 17 19 ⟶ 0 1 2 , 5 6 17 18 ⟶ 0 1 23 , 5 6 7 3 ⟶ 0 24 25 , 5 6 7 10 ⟶ 0 24 26 , 24 25 4 3 4 →= 1 23 19 3 4 , 24 25 4 3 8 →= 1 23 19 3 8 , 24 25 4 3 9 →= 1 23 19 3 9 , 27 25 4 3 4 →= 28 23 19 3 4 , 27 25 4 3 8 →= 28 23 19 3 8 , 27 25 4 3 9 →= 28 23 19 3 9 , 24 25 4 10 11 →= 1 23 19 10 11 , 24 25 4 10 12 →= 1 23 19 10 12 , 24 25 4 10 13 →= 1 23 19 10 13 , 24 25 4 10 14 →= 1 23 19 10 14 , 27 25 4 10 11 →= 28 23 19 10 11 , 27 25 4 10 12 →= 28 23 19 10 12 , 27 25 4 10 13 →= 28 23 19 10 13 , 27 25 4 10 14 →= 28 23 19 10 14 , 24 25 4 15 16 →= 1 23 19 15 16 , 27 25 4 15 16 →= 28 23 19 15 16 , 2 3 4 3 4 →= 23 18 19 3 4 , 2 3 4 3 8 →= 23 18 19 3 8 , 2 3 4 3 9 →= 23 18 19 3 9 , 4 3 4 3 4 →= 8 18 19 3 4 , 4 3 4 3 8 →= 8 18 19 3 8 , 4 3 4 3 9 →= 8 18 19 3 9 , 7 3 4 3 4 →= 17 18 19 3 4 , 7 3 4 3 8 →= 17 18 19 3 8 , 7 3 4 3 9 →= 17 18 19 3 9 , 19 3 4 3 4 →= 18 18 19 3 4 , 19 3 4 3 8 →= 18 18 19 3 8 , 19 3 4 3 9 →= 18 18 19 3 9 , 29 3 4 3 4 →= 30 18 19 3 4 , 29 3 4 3 8 →= 30 18 19 3 8 , 29 3 4 3 9 →= 30 18 19 3 9 , 31 3 4 3 4 →= 32 18 19 3 4 , 31 3 4 3 8 →= 32 18 19 3 8 , 31 3 4 3 9 →= 32 18 19 3 9 , 2 3 4 10 11 →= 23 18 19 10 11 , 2 3 4 10 12 →= 23 18 19 10 12 , 2 3 4 10 13 →= 23 18 19 10 13 , 2 3 4 10 14 →= 23 18 19 10 14 , 4 3 4 10 11 →= 8 18 19 10 11 , 4 3 4 10 12 →= 8 18 19 10 12 , 4 3 4 10 13 →= 8 18 19 10 13 , 4 3 4 10 14 →= 8 18 19 10 14 , 7 3 4 10 11 →= 17 18 19 10 11 , 7 3 4 10 12 →= 17 18 19 10 12 , 7 3 4 10 13 →= 17 18 19 10 13 , 7 3 4 10 14 →= 17 18 19 10 14 , 19 3 4 10 11 →= 18 18 19 10 11 , 19 3 4 10 12 →= 18 18 19 10 12 , 19 3 4 10 13 →= 18 18 19 10 13 , 19 3 4 10 14 →= 18 18 19 10 14 , 29 3 4 10 11 →= 30 18 19 10 11 , 29 3 4 10 12 →= 30 18 19 10 12 , 29 3 4 10 13 →= 30 18 19 10 13 , 29 3 4 10 14 →= 30 18 19 10 14 , 31 3 4 10 11 →= 32 18 19 10 11 , 31 3 4 10 12 →= 32 18 19 10 12 , 31 3 4 10 13 →= 32 18 19 10 13 , 31 3 4 10 14 →= 32 18 19 10 14 , 2 3 4 15 16 →= 23 18 19 15 16 , 4 3 4 15 16 →= 8 18 19 15 16 , 7 3 4 15 16 →= 17 18 19 15 16 , 19 3 4 15 16 →= 18 18 19 15 16 , 29 3 4 15 16 →= 30 18 19 15 16 , 31 3 4 15 16 →= 32 18 19 15 16 , 10 11 4 3 4 →= 3 8 19 3 4 , 10 11 4 3 8 →= 3 8 19 3 8 , 10 11 4 3 9 →= 3 8 19 3 9 , 12 11 4 3 4 →= 11 8 19 3 4 , 12 11 4 3 8 →= 11 8 19 3 8 , 12 11 4 3 9 →= 11 8 19 3 9 , 22 11 4 3 4 →= 21 8 19 3 4 , 22 11 4 3 8 →= 21 8 19 3 8 , 22 11 4 3 9 →= 21 8 19 3 9 , 26 11 4 3 4 →= 25 8 19 3 4 , 26 11 4 3 8 →= 25 8 19 3 8 , 26 11 4 3 9 →= 25 8 19 3 9 , 33 11 4 3 4 →= 34 8 19 3 4 , 33 11 4 3 8 →= 34 8 19 3 8 , 33 11 4 3 9 →= 34 8 19 3 9 , 35 11 4 3 4 →= 36 8 19 3 4 , 35 11 4 3 8 →= 36 8 19 3 8 , 35 11 4 3 9 →= 36 8 19 3 9 , 10 11 4 10 11 →= 3 8 19 10 11 , 10 11 4 10 12 →= 3 8 19 10 12 , 10 11 4 10 13 →= 3 8 19 10 13 , 10 11 4 10 14 →= 3 8 19 10 14 , 12 11 4 10 11 →= 11 8 19 10 11 , 12 11 4 10 12 →= 11 8 19 10 12 , 12 11 4 10 13 →= 11 8 19 10 13 , 12 11 4 10 14 →= 11 8 19 10 14 , 22 11 4 10 11 →= 21 8 19 10 11 , 22 11 4 10 12 →= 21 8 19 10 12 , 22 11 4 10 13 →= 21 8 19 10 13 , 22 11 4 10 14 →= 21 8 19 10 14 , 26 11 4 10 11 →= 25 8 19 10 11 , 26 11 4 10 12 →= 25 8 19 10 12 , 26 11 4 10 13 →= 25 8 19 10 13 , 26 11 4 10 14 →= 25 8 19 10 14 , 33 11 4 10 11 →= 34 8 19 10 11 , 33 11 4 10 12 →= 34 8 19 10 12 , 33 11 4 10 13 →= 34 8 19 10 13 , 33 11 4 10 14 →= 34 8 19 10 14 , 35 11 4 10 11 →= 36 8 19 10 11 , 35 11 4 10 12 →= 36 8 19 10 12 , 35 11 4 10 13 →= 36 8 19 10 13 , 35 11 4 10 14 →= 36 8 19 10 14 , 10 11 4 15 16 →= 3 8 19 15 16 , 12 11 4 15 16 →= 11 8 19 15 16 , 22 11 4 15 16 →= 21 8 19 15 16 , 26 11 4 15 16 →= 25 8 19 15 16 , 33 11 4 15 16 →= 34 8 19 15 16 , 35 11 4 15 16 →= 36 8 19 15 16 , 20 21 4 3 4 →= 6 17 19 3 4 , 20 21 4 3 8 →= 6 17 19 3 8 , 20 21 4 3 9 →= 6 17 19 3 9 , 37 21 4 3 4 →= 38 17 19 3 4 , 37 21 4 3 8 →= 38 17 19 3 8 , 37 21 4 3 9 →= 38 17 19 3 9 , 20 21 4 10 11 →= 6 17 19 10 11 , 20 21 4 10 12 →= 6 17 19 10 12 , 20 21 4 10 13 →= 6 17 19 10 13 , 20 21 4 10 14 →= 6 17 19 10 14 , 37 21 4 10 11 →= 38 17 19 10 11 , 37 21 4 10 12 →= 38 17 19 10 12 , 37 21 4 10 13 →= 38 17 19 10 13 , 37 21 4 10 14 →= 38 17 19 10 14 , 20 21 4 15 16 →= 6 17 19 15 16 , 37 21 4 15 16 →= 38 17 19 15 16 , 39 34 4 3 4 →= 40 30 19 3 4 , 39 34 4 3 8 →= 40 30 19 3 8 , 39 34 4 3 9 →= 40 30 19 3 9 , 39 34 4 10 11 →= 40 30 19 10 11 , 39 34 4 10 12 →= 40 30 19 10 12 , 39 34 4 10 13 →= 40 30 19 10 13 , 39 34 4 10 14 →= 40 30 19 10 14 , 1 23 18 18 19 →= 1 2 3 4 , 1 23 18 18 18 →= 1 2 3 8 , 28 23 18 18 19 →= 28 2 3 4 , 28 23 18 18 18 →= 28 2 3 8 , 1 23 18 19 3 →= 1 2 10 11 , 1 23 18 19 10 →= 1 2 10 12 , 28 23 18 19 3 →= 28 2 10 11 , 28 23 18 19 10 →= 28 2 10 12 , 23 18 18 18 19 →= 23 19 3 4 , 23 18 18 18 18 →= 23 19 3 8 , 8 18 18 18 19 →= 8 19 3 4 , 8 18 18 18 18 →= 8 19 3 8 , 17 18 18 18 19 →= 17 19 3 4 , 17 18 18 18 18 →= 17 19 3 8 , 18 18 18 18 19 →= 18 19 3 4 , 18 18 18 18 18 →= 18 19 3 8 , 30 18 18 18 19 →= 30 19 3 4 , 30 18 18 18 18 →= 30 19 3 8 , 32 18 18 18 19 →= 32 19 3 4 , 32 18 18 18 18 →= 32 19 3 8 , 23 18 18 19 3 →= 23 19 10 11 , 23 18 18 19 10 →= 23 19 10 12 , 8 18 18 19 3 →= 8 19 10 11 , 8 18 18 19 10 →= 8 19 10 12 , 17 18 18 19 3 →= 17 19 10 11 , 17 18 18 19 10 →= 17 19 10 12 , 18 18 18 19 3 →= 18 19 10 11 , 18 18 18 19 10 →= 18 19 10 12 , 30 18 18 19 3 →= 30 19 10 11 , 30 18 18 19 10 →= 30 19 10 12 , 32 18 18 19 3 →= 32 19 10 11 , 32 18 18 19 10 →= 32 19 10 12 , 3 8 18 18 19 →= 3 4 3 4 , 3 8 18 18 18 →= 3 4 3 8 , 11 8 18 18 19 →= 11 4 3 4 , 11 8 18 18 18 →= 11 4 3 8 , 21 8 18 18 19 →= 21 4 3 4 , 21 8 18 18 18 →= 21 4 3 8 , 25 8 18 18 19 →= 25 4 3 4 , 25 8 18 18 18 →= 25 4 3 8 , 34 8 18 18 19 →= 34 4 3 4 , 34 8 18 18 18 →= 34 4 3 8 , 36 8 18 18 19 →= 36 4 3 4 , 36 8 18 18 18 →= 36 4 3 8 , 3 8 18 19 3 →= 3 4 10 11 , 3 8 18 19 10 →= 3 4 10 12 , 11 8 18 19 3 →= 11 4 10 11 , 11 8 18 19 10 →= 11 4 10 12 , 21 8 18 19 3 →= 21 4 10 11 , 21 8 18 19 10 →= 21 4 10 12 , 25 8 18 19 3 →= 25 4 10 11 , 25 8 18 19 10 →= 25 4 10 12 , 34 8 18 19 3 →= 34 4 10 11 , 34 8 18 19 10 →= 34 4 10 12 , 36 8 18 19 3 →= 36 4 10 11 , 36 8 18 19 10 →= 36 4 10 12 , 6 17 18 18 19 →= 6 7 3 4 , 6 17 18 18 18 →= 6 7 3 8 , 38 17 18 18 19 →= 38 7 3 4 , 38 17 18 18 18 →= 38 7 3 8 , 6 17 18 19 3 →= 6 7 10 11 , 6 17 18 19 10 →= 6 7 10 12 , 38 17 18 19 3 →= 38 7 10 11 , 38 17 18 19 10 →= 38 7 10 12 , 40 30 18 18 19 →= 40 29 3 4 , 40 30 18 18 18 →= 40 29 3 8 , 40 30 18 19 3 →= 40 29 10 11 , 40 30 18 19 10 →= 40 29 10 12 , 1 23 18 19 →= 24 26 12 11 4 , 1 23 18 18 →= 24 26 12 11 8 , 28 23 18 19 →= 27 26 12 11 4 , 28 23 18 18 →= 27 26 12 11 8 , 1 23 19 3 →= 24 26 12 12 11 , 1 23 19 10 →= 24 26 12 12 12 , 28 23 19 3 →= 27 26 12 12 11 , 28 23 19 10 →= 27 26 12 12 12 , 23 18 18 19 →= 2 10 12 11 4 , 23 18 18 18 →= 2 10 12 11 8 , 8 18 18 19 →= 4 10 12 11 4 , 8 18 18 18 →= 4 10 12 11 8 , 17 18 18 19 →= 7 10 12 11 4 , 17 18 18 18 →= 7 10 12 11 8 , 18 18 18 19 →= 19 10 12 11 4 , 18 18 18 18 →= 19 10 12 11 8 , 30 18 18 19 →= 29 10 12 11 4 , 30 18 18 18 →= 29 10 12 11 8 , 32 18 18 19 →= 31 10 12 11 4 , 32 18 18 18 →= 31 10 12 11 8 , 23 18 19 3 →= 2 10 12 12 11 , 23 18 19 10 →= 2 10 12 12 12 , 8 18 19 3 →= 4 10 12 12 11 , 8 18 19 10 →= 4 10 12 12 12 , 17 18 19 3 →= 7 10 12 12 11 , 17 18 19 10 →= 7 10 12 12 12 , 18 18 19 3 →= 19 10 12 12 11 , 18 18 19 10 →= 19 10 12 12 12 , 30 18 19 3 →= 29 10 12 12 11 , 30 18 19 10 →= 29 10 12 12 12 , 32 18 19 3 →= 31 10 12 12 11 , 32 18 19 10 →= 31 10 12 12 12 , 3 8 18 19 →= 10 12 12 11 4 , 3 8 18 18 →= 10 12 12 11 8 , 11 8 18 19 →= 12 12 12 11 4 , 11 8 18 18 →= 12 12 12 11 8 , 21 8 18 19 →= 22 12 12 11 4 , 21 8 18 18 →= 22 12 12 11 8 , 25 8 18 19 →= 26 12 12 11 4 , 25 8 18 18 →= 26 12 12 11 8 , 34 8 18 19 →= 33 12 12 11 4 , 34 8 18 18 →= 33 12 12 11 8 , 36 8 18 19 →= 35 12 12 11 4 , 36 8 18 18 →= 35 12 12 11 8 , 3 8 19 3 →= 10 12 12 12 11 , 3 8 19 10 →= 10 12 12 12 12 , 11 8 19 3 →= 12 12 12 12 11 , 11 8 19 10 →= 12 12 12 12 12 , 21 8 19 3 →= 22 12 12 12 11 , 21 8 19 10 →= 22 12 12 12 12 , 25 8 19 3 →= 26 12 12 12 11 , 25 8 19 10 →= 26 12 12 12 12 , 34 8 19 3 →= 33 12 12 12 11 , 34 8 19 10 →= 33 12 12 12 12 , 36 8 19 3 →= 35 12 12 12 11 , 36 8 19 10 →= 35 12 12 12 12 , 6 17 18 19 →= 20 22 12 11 4 , 6 17 18 18 →= 20 22 12 11 8 , 38 17 18 19 →= 37 22 12 11 4 , 38 17 18 18 →= 37 22 12 11 8 , 6 17 19 3 →= 20 22 12 12 11 , 6 17 19 10 →= 20 22 12 12 12 , 38 17 19 3 →= 37 22 12 12 11 , 38 17 19 10 →= 37 22 12 12 12 , 40 30 18 19 →= 39 33 12 11 4 , 40 30 18 18 →= 39 33 12 11 8 , 40 30 19 3 →= 39 33 12 12 11 , 40 30 19 10 →= 39 33 12 12 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 7 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 5 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 6 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 6 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 19 ↦ 0, 3 ↦ 1, 4 ↦ 2, 18 ↦ 3, 8 ↦ 4, 9 ↦ 5, 10 ↦ 6, 11 ↦ 7, 12 ↦ 8, 13 ↦ 9, 14 ↦ 10, 15 ↦ 11, 16 ↦ 12, 21 ↦ 13, 25 ↦ 14, 34 ↦ 15, 36 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 31-rule system { 0 1 2 1 2 →= 3 3 0 1 2 , 0 1 2 1 4 →= 3 3 0 1 4 , 0 1 2 1 5 →= 3 3 0 1 5 , 0 1 2 6 7 →= 3 3 0 6 7 , 0 1 2 6 8 →= 3 3 0 6 8 , 0 1 2 6 9 →= 3 3 0 6 9 , 0 1 2 6 10 →= 3 3 0 6 10 , 0 1 2 11 12 →= 3 3 0 11 12 , 6 7 2 1 2 →= 1 4 0 1 2 , 6 7 2 1 4 →= 1 4 0 1 4 , 6 7 2 1 5 →= 1 4 0 1 5 , 8 7 2 1 2 →= 7 4 0 1 2 , 8 7 2 1 4 →= 7 4 0 1 4 , 8 7 2 1 5 →= 7 4 0 1 5 , 6 7 2 6 7 →= 1 4 0 6 7 , 6 7 2 6 8 →= 1 4 0 6 8 , 6 7 2 6 9 →= 1 4 0 6 9 , 6 7 2 6 10 →= 1 4 0 6 10 , 8 7 2 6 7 →= 7 4 0 6 7 , 8 7 2 6 8 →= 7 4 0 6 8 , 8 7 2 6 9 →= 7 4 0 6 9 , 8 7 2 6 10 →= 7 4 0 6 10 , 6 7 2 11 12 →= 1 4 0 11 12 , 8 7 2 11 12 →= 7 4 0 11 12 , 1 4 3 3 0 →= 1 2 1 2 , 7 4 3 3 0 →= 7 2 1 2 , 13 4 3 3 0 →= 13 2 1 2 , 14 4 3 3 0 →= 14 2 1 2 , 15 4 3 3 0 →= 15 2 1 2 , 16 4 3 3 0 →= 16 2 1 2 , 4 3 3 0 →= 2 6 8 7 2 } The system is trivially terminating.