/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { b ↦ 0, a ↦ 1, c ↦ 2, L ↦ 3, R ↦ 4 }, it remains to prove termination of the 5-rule system { 0 1 1 ⟶ 1 0 2 , 2 1 ⟶ 1 2 , 2 0 ⟶ 0 1 , 3 1 1 ⟶ 3 1 0 2 , 2 4 ⟶ 0 1 4 } Applying the dependency pairs transformation. Here, ↑ marks so-called defined symbols. After renaming modulo the bijection { (0,↑) ↦ 0, (1,↓) ↦ 1, (2,↓) ↦ 2, (2,↑) ↦ 3, (0,↓) ↦ 4, (3,↑) ↦ 5, (4,↓) ↦ 6, (3,↓) ↦ 7 }, it remains to prove termination of the 13-rule system { 0 1 1 ⟶ 0 2 , 0 1 1 ⟶ 3 , 3 1 ⟶ 3 , 3 4 ⟶ 0 1 , 5 1 1 ⟶ 5 1 4 2 , 5 1 1 ⟶ 0 2 , 5 1 1 ⟶ 3 , 3 6 ⟶ 0 1 6 , 4 1 1 →= 1 4 2 , 2 1 →= 1 2 , 2 4 →= 4 1 , 7 1 1 →= 7 1 4 2 , 2 6 →= 4 1 6 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7 }, it remains to prove termination of the 11-rule system { 0 1 1 ⟶ 0 2 , 0 1 1 ⟶ 3 , 3 1 ⟶ 3 , 3 4 ⟶ 0 1 , 5 1 1 ⟶ 5 1 4 2 , 3 6 ⟶ 0 1 6 , 4 1 1 →= 1 4 2 , 2 1 →= 1 2 , 2 4 →= 4 1 , 7 1 1 →= 7 1 4 2 , 2 6 →= 4 1 6 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 5 ↦ 0, 1 ↦ 1, 4 ↦ 2, 2 ↦ 3, 7 ↦ 4, 6 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 6-rule system { 0 1 1 ⟶ 0 1 2 3 , 2 1 1 →= 1 2 3 , 3 1 →= 1 3 , 3 2 →= 2 1 , 4 1 1 →= 4 1 2 3 , 3 5 →= 2 1 5 } Applying sparse tiling TROC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (6,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,1) ↦ 2, (1,2) ↦ 3, (2,3) ↦ 4, (3,1) ↦ 5, (3,2) ↦ 6, (1,3) ↦ 7, (3,3) ↦ 8, (1,5) ↦ 9, (3,5) ↦ 10, (1,7) ↦ 11, (3,7) ↦ 12, (2,1) ↦ 13, (2,2) ↦ 14, (6,2) ↦ 15, (6,1) ↦ 16, (6,4) ↦ 17, (4,1) ↦ 18, (5,7) ↦ 19 }, it remains to prove termination of the 57-rule system { 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 , 0 1 2 3 ⟶ 0 1 3 4 6 , 0 1 2 7 ⟶ 0 1 3 4 8 , 0 1 2 9 ⟶ 0 1 3 4 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 12 , 3 13 2 2 →= 2 3 4 5 , 3 13 2 3 →= 2 3 4 6 , 3 13 2 7 →= 2 3 4 8 , 3 13 2 9 →= 2 3 4 10 , 3 13 2 11 →= 2 3 4 12 , 14 13 2 2 →= 13 3 4 5 , 14 13 2 3 →= 13 3 4 6 , 14 13 2 7 →= 13 3 4 8 , 14 13 2 9 →= 13 3 4 10 , 14 13 2 11 →= 13 3 4 12 , 6 13 2 2 →= 5 3 4 5 , 6 13 2 3 →= 5 3 4 6 , 6 13 2 7 →= 5 3 4 8 , 6 13 2 9 →= 5 3 4 10 , 6 13 2 11 →= 5 3 4 12 , 15 13 2 2 →= 16 3 4 5 , 15 13 2 3 →= 16 3 4 6 , 15 13 2 7 →= 16 3 4 8 , 15 13 2 9 →= 16 3 4 10 , 15 13 2 11 →= 16 3 4 12 , 7 5 2 →= 2 7 5 , 7 5 3 →= 2 7 6 , 7 5 7 →= 2 7 8 , 7 5 9 →= 2 7 10 , 7 5 11 →= 2 7 12 , 4 5 2 →= 13 7 5 , 4 5 3 →= 13 7 6 , 4 5 7 →= 13 7 8 , 4 5 9 →= 13 7 10 , 4 5 11 →= 13 7 12 , 8 5 2 →= 5 7 5 , 8 5 3 →= 5 7 6 , 8 5 7 →= 5 7 8 , 8 5 9 →= 5 7 10 , 8 5 11 →= 5 7 12 , 7 6 13 →= 3 13 2 , 7 6 14 →= 3 13 3 , 7 6 4 →= 3 13 7 , 4 6 13 →= 14 13 2 , 4 6 14 →= 14 13 3 , 4 6 4 →= 14 13 7 , 8 6 13 →= 6 13 2 , 8 6 14 →= 6 13 3 , 8 6 4 →= 6 13 7 , 17 18 2 2 →= 17 18 3 4 5 , 17 18 2 3 →= 17 18 3 4 6 , 17 18 2 7 →= 17 18 3 4 8 , 17 18 2 9 →= 17 18 3 4 10 , 17 18 2 11 →= 17 18 3 4 12 , 7 10 19 →= 3 13 9 19 , 4 10 19 →= 14 13 9 19 , 8 10 19 →= 6 13 9 19 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 13 ↦ 11, 14 ↦ 12, 17 ↦ 13, 18 ↦ 14, 19 ↦ 15 }, it remains to prove termination of the 44-rule system { 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 , 0 1 2 3 ⟶ 0 1 3 4 6 , 0 1 2 7 ⟶ 0 1 3 4 8 , 0 1 2 9 ⟶ 0 1 3 4 10 , 3 11 2 2 →= 2 3 4 5 , 3 11 2 3 →= 2 3 4 6 , 3 11 2 7 →= 2 3 4 8 , 3 11 2 9 →= 2 3 4 10 , 12 11 2 2 →= 11 3 4 5 , 12 11 2 3 →= 11 3 4 6 , 12 11 2 7 →= 11 3 4 8 , 12 11 2 9 →= 11 3 4 10 , 6 11 2 2 →= 5 3 4 5 , 6 11 2 3 →= 5 3 4 6 , 6 11 2 7 →= 5 3 4 8 , 6 11 2 9 →= 5 3 4 10 , 7 5 2 →= 2 7 5 , 7 5 3 →= 2 7 6 , 7 5 7 →= 2 7 8 , 7 5 9 →= 2 7 10 , 4 5 2 →= 11 7 5 , 4 5 3 →= 11 7 6 , 4 5 7 →= 11 7 8 , 4 5 9 →= 11 7 10 , 8 5 2 →= 5 7 5 , 8 5 3 →= 5 7 6 , 8 5 7 →= 5 7 8 , 8 5 9 →= 5 7 10 , 7 6 11 →= 3 11 2 , 7 6 12 →= 3 11 3 , 7 6 4 →= 3 11 7 , 4 6 11 →= 12 11 2 , 4 6 12 →= 12 11 3 , 4 6 4 →= 12 11 7 , 8 6 11 →= 6 11 2 , 8 6 12 →= 6 11 3 , 8 6 4 →= 6 11 7 , 13 14 2 2 →= 13 14 3 4 5 , 13 14 2 3 →= 13 14 3 4 6 , 13 14 2 7 →= 13 14 3 4 8 , 13 14 2 9 →= 13 14 3 4 10 , 7 10 15 →= 3 11 9 15 , 4 10 15 →= 12 11 9 15 , 8 10 15 →= 6 11 9 15 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 11 ↦ 9, 9 ↦ 10, 10 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15 }, it remains to prove termination of the 43-rule system { 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 , 0 1 2 3 ⟶ 0 1 3 4 6 , 0 1 2 7 ⟶ 0 1 3 4 8 , 3 9 2 2 →= 2 3 4 5 , 3 9 2 3 →= 2 3 4 6 , 3 9 2 7 →= 2 3 4 8 , 3 9 2 10 →= 2 3 4 11 , 12 9 2 2 →= 9 3 4 5 , 12 9 2 3 →= 9 3 4 6 , 12 9 2 7 →= 9 3 4 8 , 12 9 2 10 →= 9 3 4 11 , 6 9 2 2 →= 5 3 4 5 , 6 9 2 3 →= 5 3 4 6 , 6 9 2 7 →= 5 3 4 8 , 6 9 2 10 →= 5 3 4 11 , 7 5 2 →= 2 7 5 , 7 5 3 →= 2 7 6 , 7 5 7 →= 2 7 8 , 7 5 10 →= 2 7 11 , 4 5 2 →= 9 7 5 , 4 5 3 →= 9 7 6 , 4 5 7 →= 9 7 8 , 4 5 10 →= 9 7 11 , 8 5 2 →= 5 7 5 , 8 5 3 →= 5 7 6 , 8 5 7 →= 5 7 8 , 8 5 10 →= 5 7 11 , 7 6 9 →= 3 9 2 , 7 6 12 →= 3 9 3 , 7 6 4 →= 3 9 7 , 4 6 9 →= 12 9 2 , 4 6 12 →= 12 9 3 , 4 6 4 →= 12 9 7 , 8 6 9 →= 6 9 2 , 8 6 12 →= 6 9 3 , 8 6 4 →= 6 9 7 , 13 14 2 2 →= 13 14 3 4 5 , 13 14 2 3 →= 13 14 3 4 6 , 13 14 2 7 →= 13 14 3 4 8 , 13 14 2 10 →= 13 14 3 4 11 , 7 11 15 →= 3 9 10 15 , 4 11 15 →= 12 9 10 15 , 8 11 15 →= 6 9 10 15 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15 }, it remains to prove termination of the 42-rule system { 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 , 0 1 2 3 ⟶ 0 1 3 4 6 , 0 1 2 7 ⟶ 0 1 3 4 8 , 3 9 2 2 →= 2 3 4 5 , 3 9 2 3 →= 2 3 4 6 , 3 9 2 7 →= 2 3 4 8 , 3 9 2 10 →= 2 3 4 11 , 12 9 2 2 →= 9 3 4 5 , 12 9 2 3 →= 9 3 4 6 , 12 9 2 7 →= 9 3 4 8 , 12 9 2 10 →= 9 3 4 11 , 6 9 2 2 →= 5 3 4 5 , 6 9 2 3 →= 5 3 4 6 , 6 9 2 7 →= 5 3 4 8 , 6 9 2 10 →= 5 3 4 11 , 7 5 2 →= 2 7 5 , 7 5 3 →= 2 7 6 , 7 5 7 →= 2 7 8 , 7 5 10 →= 2 7 11 , 4 5 2 →= 9 7 5 , 4 5 3 →= 9 7 6 , 4 5 7 →= 9 7 8 , 4 5 10 →= 9 7 11 , 8 5 2 →= 5 7 5 , 8 5 3 →= 5 7 6 , 8 5 7 →= 5 7 8 , 8 5 10 →= 5 7 11 , 7 6 9 →= 3 9 2 , 7 6 12 →= 3 9 3 , 7 6 4 →= 3 9 7 , 4 6 9 →= 12 9 2 , 4 6 12 →= 12 9 3 , 4 6 4 →= 12 9 7 , 8 6 9 →= 6 9 2 , 8 6 12 →= 6 9 3 , 8 6 4 →= 6 9 7 , 13 14 2 2 →= 13 14 3 4 5 , 13 14 2 3 →= 13 14 3 4 6 , 13 14 2 7 →= 13 14 3 4 8 , 7 11 15 →= 3 9 10 15 , 4 11 15 →= 12 9 10 15 , 8 11 15 →= 6 9 10 15 } Applying sparse tiling TROC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (16,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,2) ↦ 2, (2,2) ↦ 3, (2,17) ↦ 4, (1,3) ↦ 5, (3,4) ↦ 6, (4,5) ↦ 7, (5,17) ↦ 8, (5,2) ↦ 9, (2,3) ↦ 10, (5,3) ↦ 11, (2,7) ↦ 12, (5,7) ↦ 13, (2,10) ↦ 14, (5,10) ↦ 15, (3,17) ↦ 16, (4,6) ↦ 17, (6,17) ↦ 18, (6,4) ↦ 19, (3,9) ↦ 20, (6,9) ↦ 21, (3,12) ↦ 22, (6,12) ↦ 23, (7,17) ↦ 24, (4,8) ↦ 25, (8,17) ↦ 26, (7,5) ↦ 27, (8,5) ↦ 28, (7,6) ↦ 29, (8,6) ↦ 30, (7,8) ↦ 31, (8,8) ↦ 32, (7,11) ↦ 33, (8,11) ↦ 34, (16,3) ↦ 35, (9,2) ↦ 36, (16,2) ↦ 37, (9,3) ↦ 38, (14,3) ↦ 39, (14,2) ↦ 40, (10,15) ↦ 41, (4,11) ↦ 42, (11,15) ↦ 43, (16,12) ↦ 44, (12,9) ↦ 45, (16,9) ↦ 46, (16,6) ↦ 47, (16,5) ↦ 48, (9,7) ↦ 49, (9,10) ↦ 50, (16,13) ↦ 51, (13,14) ↦ 52, (15,17) ↦ 53 }, it remains to prove termination of the 423-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 0 1 5 6 7 8 , 0 1 2 3 3 ⟶ 0 1 5 6 7 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 0 1 5 6 7 11 , 0 1 2 3 12 ⟶ 0 1 5 6 7 13 , 0 1 2 3 14 ⟶ 0 1 5 6 7 15 , 0 1 2 10 16 ⟶ 0 1 5 6 17 18 , 0 1 2 10 6 ⟶ 0 1 5 6 17 19 , 0 1 2 10 20 ⟶ 0 1 5 6 17 21 , 0 1 2 10 22 ⟶ 0 1 5 6 17 23 , 0 1 2 12 24 ⟶ 0 1 5 6 25 26 , 0 1 2 12 27 ⟶ 0 1 5 6 25 28 , 0 1 2 12 29 ⟶ 0 1 5 6 25 30 , 0 1 2 12 31 ⟶ 0 1 5 6 25 32 , 0 1 2 12 33 ⟶ 0 1 5 6 25 34 , 35 20 36 3 4 →= 37 10 6 7 8 , 35 20 36 3 3 →= 37 10 6 7 9 , 35 20 36 3 10 →= 37 10 6 7 11 , 35 20 36 3 12 →= 37 10 6 7 13 , 35 20 36 3 14 →= 37 10 6 7 15 , 5 20 36 3 4 →= 2 10 6 7 8 , 5 20 36 3 3 →= 2 10 6 7 9 , 5 20 36 3 10 →= 2 10 6 7 11 , 5 20 36 3 12 →= 2 10 6 7 13 , 5 20 36 3 14 →= 2 10 6 7 15 , 10 20 36 3 4 →= 3 10 6 7 8 , 10 20 36 3 3 →= 3 10 6 7 9 , 10 20 36 3 10 →= 3 10 6 7 11 , 10 20 36 3 12 →= 3 10 6 7 13 , 10 20 36 3 14 →= 3 10 6 7 15 , 11 20 36 3 4 →= 9 10 6 7 8 , 11 20 36 3 3 →= 9 10 6 7 9 , 11 20 36 3 10 →= 9 10 6 7 11 , 11 20 36 3 12 →= 9 10 6 7 13 , 11 20 36 3 14 →= 9 10 6 7 15 , 38 20 36 3 4 →= 36 10 6 7 8 , 38 20 36 3 3 →= 36 10 6 7 9 , 38 20 36 3 10 →= 36 10 6 7 11 , 38 20 36 3 12 →= 36 10 6 7 13 , 38 20 36 3 14 →= 36 10 6 7 15 , 39 20 36 3 4 →= 40 10 6 7 8 , 39 20 36 3 3 →= 40 10 6 7 9 , 39 20 36 3 10 →= 40 10 6 7 11 , 39 20 36 3 12 →= 40 10 6 7 13 , 39 20 36 3 14 →= 40 10 6 7 15 , 35 20 36 10 16 →= 37 10 6 17 18 , 35 20 36 10 6 →= 37 10 6 17 19 , 35 20 36 10 20 →= 37 10 6 17 21 , 35 20 36 10 22 →= 37 10 6 17 23 , 5 20 36 10 16 →= 2 10 6 17 18 , 5 20 36 10 6 →= 2 10 6 17 19 , 5 20 36 10 20 →= 2 10 6 17 21 , 5 20 36 10 22 →= 2 10 6 17 23 , 10 20 36 10 16 →= 3 10 6 17 18 , 10 20 36 10 6 →= 3 10 6 17 19 , 10 20 36 10 20 →= 3 10 6 17 21 , 10 20 36 10 22 →= 3 10 6 17 23 , 11 20 36 10 16 →= 9 10 6 17 18 , 11 20 36 10 6 →= 9 10 6 17 19 , 11 20 36 10 20 →= 9 10 6 17 21 , 11 20 36 10 22 →= 9 10 6 17 23 , 38 20 36 10 16 →= 36 10 6 17 18 , 38 20 36 10 6 →= 36 10 6 17 19 , 38 20 36 10 20 →= 36 10 6 17 21 , 38 20 36 10 22 →= 36 10 6 17 23 , 39 20 36 10 16 →= 40 10 6 17 18 , 39 20 36 10 6 →= 40 10 6 17 19 , 39 20 36 10 20 →= 40 10 6 17 21 , 39 20 36 10 22 →= 40 10 6 17 23 , 35 20 36 12 24 →= 37 10 6 25 26 , 35 20 36 12 27 →= 37 10 6 25 28 , 35 20 36 12 29 →= 37 10 6 25 30 , 35 20 36 12 31 →= 37 10 6 25 32 , 35 20 36 12 33 →= 37 10 6 25 34 , 5 20 36 12 24 →= 2 10 6 25 26 , 5 20 36 12 27 →= 2 10 6 25 28 , 5 20 36 12 29 →= 2 10 6 25 30 , 5 20 36 12 31 →= 2 10 6 25 32 , 5 20 36 12 33 →= 2 10 6 25 34 , 10 20 36 12 24 →= 3 10 6 25 26 , 10 20 36 12 27 →= 3 10 6 25 28 , 10 20 36 12 29 →= 3 10 6 25 30 , 10 20 36 12 31 →= 3 10 6 25 32 , 10 20 36 12 33 →= 3 10 6 25 34 , 11 20 36 12 24 →= 9 10 6 25 26 , 11 20 36 12 27 →= 9 10 6 25 28 , 11 20 36 12 29 →= 9 10 6 25 30 , 11 20 36 12 31 →= 9 10 6 25 32 , 11 20 36 12 33 →= 9 10 6 25 34 , 38 20 36 12 24 →= 36 10 6 25 26 , 38 20 36 12 27 →= 36 10 6 25 28 , 38 20 36 12 29 →= 36 10 6 25 30 , 38 20 36 12 31 →= 36 10 6 25 32 , 38 20 36 12 33 →= 36 10 6 25 34 , 39 20 36 12 24 →= 40 10 6 25 26 , 39 20 36 12 27 →= 40 10 6 25 28 , 39 20 36 12 29 →= 40 10 6 25 30 , 39 20 36 12 31 →= 40 10 6 25 32 , 39 20 36 12 33 →= 40 10 6 25 34 , 35 20 36 14 41 →= 37 10 6 42 43 , 5 20 36 14 41 →= 2 10 6 42 43 , 10 20 36 14 41 →= 3 10 6 42 43 , 11 20 36 14 41 →= 9 10 6 42 43 , 38 20 36 14 41 →= 36 10 6 42 43 , 39 20 36 14 41 →= 40 10 6 42 43 , 44 45 36 3 4 →= 46 38 6 7 8 , 44 45 36 3 3 →= 46 38 6 7 9 , 44 45 36 3 10 →= 46 38 6 7 11 , 44 45 36 3 12 →= 46 38 6 7 13 , 44 45 36 3 14 →= 46 38 6 7 15 , 22 45 36 3 4 →= 20 38 6 7 8 , 22 45 36 3 3 →= 20 38 6 7 9 , 22 45 36 3 10 →= 20 38 6 7 11 , 22 45 36 3 12 →= 20 38 6 7 13 , 22 45 36 3 14 →= 20 38 6 7 15 , 23 45 36 3 4 →= 21 38 6 7 8 , 23 45 36 3 3 →= 21 38 6 7 9 , 23 45 36 3 10 →= 21 38 6 7 11 , 23 45 36 3 12 →= 21 38 6 7 13 , 23 45 36 3 14 →= 21 38 6 7 15 , 44 45 36 10 16 →= 46 38 6 17 18 , 44 45 36 10 6 →= 46 38 6 17 19 , 44 45 36 10 20 →= 46 38 6 17 21 , 44 45 36 10 22 →= 46 38 6 17 23 , 22 45 36 10 16 →= 20 38 6 17 18 , 22 45 36 10 6 →= 20 38 6 17 19 , 22 45 36 10 20 →= 20 38 6 17 21 , 22 45 36 10 22 →= 20 38 6 17 23 , 23 45 36 10 16 →= 21 38 6 17 18 , 23 45 36 10 6 →= 21 38 6 17 19 , 23 45 36 10 20 →= 21 38 6 17 21 , 23 45 36 10 22 →= 21 38 6 17 23 , 44 45 36 12 24 →= 46 38 6 25 26 , 44 45 36 12 27 →= 46 38 6 25 28 , 44 45 36 12 29 →= 46 38 6 25 30 , 44 45 36 12 31 →= 46 38 6 25 32 , 44 45 36 12 33 →= 46 38 6 25 34 , 22 45 36 12 24 →= 20 38 6 25 26 , 22 45 36 12 27 →= 20 38 6 25 28 , 22 45 36 12 29 →= 20 38 6 25 30 , 22 45 36 12 31 →= 20 38 6 25 32 , 22 45 36 12 33 →= 20 38 6 25 34 , 23 45 36 12 24 →= 21 38 6 25 26 , 23 45 36 12 27 →= 21 38 6 25 28 , 23 45 36 12 29 →= 21 38 6 25 30 , 23 45 36 12 31 →= 21 38 6 25 32 , 23 45 36 12 33 →= 21 38 6 25 34 , 44 45 36 14 41 →= 46 38 6 42 43 , 22 45 36 14 41 →= 20 38 6 42 43 , 23 45 36 14 41 →= 21 38 6 42 43 , 47 21 36 3 4 →= 48 11 6 7 8 , 47 21 36 3 3 →= 48 11 6 7 9 , 47 21 36 3 10 →= 48 11 6 7 11 , 47 21 36 3 12 →= 48 11 6 7 13 , 47 21 36 3 14 →= 48 11 6 7 15 , 17 21 36 3 4 →= 7 11 6 7 8 , 17 21 36 3 3 →= 7 11 6 7 9 , 17 21 36 3 10 →= 7 11 6 7 11 , 17 21 36 3 12 →= 7 11 6 7 13 , 17 21 36 3 14 →= 7 11 6 7 15 , 29 21 36 3 4 →= 27 11 6 7 8 , 29 21 36 3 3 →= 27 11 6 7 9 , 29 21 36 3 10 →= 27 11 6 7 11 , 29 21 36 3 12 →= 27 11 6 7 13 , 29 21 36 3 14 →= 27 11 6 7 15 , 30 21 36 3 4 →= 28 11 6 7 8 , 30 21 36 3 3 →= 28 11 6 7 9 , 30 21 36 3 10 →= 28 11 6 7 11 , 30 21 36 3 12 →= 28 11 6 7 13 , 30 21 36 3 14 →= 28 11 6 7 15 , 47 21 36 10 16 →= 48 11 6 17 18 , 47 21 36 10 6 →= 48 11 6 17 19 , 47 21 36 10 20 →= 48 11 6 17 21 , 47 21 36 10 22 →= 48 11 6 17 23 , 17 21 36 10 16 →= 7 11 6 17 18 , 17 21 36 10 6 →= 7 11 6 17 19 , 17 21 36 10 20 →= 7 11 6 17 21 , 17 21 36 10 22 →= 7 11 6 17 23 , 29 21 36 10 16 →= 27 11 6 17 18 , 29 21 36 10 6 →= 27 11 6 17 19 , 29 21 36 10 20 →= 27 11 6 17 21 , 29 21 36 10 22 →= 27 11 6 17 23 , 30 21 36 10 16 →= 28 11 6 17 18 , 30 21 36 10 6 →= 28 11 6 17 19 , 30 21 36 10 20 →= 28 11 6 17 21 , 30 21 36 10 22 →= 28 11 6 17 23 , 47 21 36 12 24 →= 48 11 6 25 26 , 47 21 36 12 27 →= 48 11 6 25 28 , 47 21 36 12 29 →= 48 11 6 25 30 , 47 21 36 12 31 →= 48 11 6 25 32 , 47 21 36 12 33 →= 48 11 6 25 34 , 17 21 36 12 24 →= 7 11 6 25 26 , 17 21 36 12 27 →= 7 11 6 25 28 , 17 21 36 12 29 →= 7 11 6 25 30 , 17 21 36 12 31 →= 7 11 6 25 32 , 17 21 36 12 33 →= 7 11 6 25 34 , 29 21 36 12 24 →= 27 11 6 25 26 , 29 21 36 12 27 →= 27 11 6 25 28 , 29 21 36 12 29 →= 27 11 6 25 30 , 29 21 36 12 31 →= 27 11 6 25 32 , 29 21 36 12 33 →= 27 11 6 25 34 , 30 21 36 12 24 →= 28 11 6 25 26 , 30 21 36 12 27 →= 28 11 6 25 28 , 30 21 36 12 29 →= 28 11 6 25 30 , 30 21 36 12 31 →= 28 11 6 25 32 , 30 21 36 12 33 →= 28 11 6 25 34 , 47 21 36 14 41 →= 48 11 6 42 43 , 17 21 36 14 41 →= 7 11 6 42 43 , 29 21 36 14 41 →= 27 11 6 42 43 , 30 21 36 14 41 →= 28 11 6 42 43 , 12 27 9 4 →= 3 12 27 8 , 12 27 9 3 →= 3 12 27 9 , 12 27 9 10 →= 3 12 27 11 , 12 27 9 12 →= 3 12 27 13 , 12 27 9 14 →= 3 12 27 15 , 13 27 9 4 →= 9 12 27 8 , 13 27 9 3 →= 9 12 27 9 , 13 27 9 10 →= 9 12 27 11 , 13 27 9 12 →= 9 12 27 13 , 13 27 9 14 →= 9 12 27 15 , 49 27 9 4 →= 36 12 27 8 , 49 27 9 3 →= 36 12 27 9 , 49 27 9 10 →= 36 12 27 11 , 49 27 9 12 →= 36 12 27 13 , 49 27 9 14 →= 36 12 27 15 , 12 27 11 16 →= 3 12 29 18 , 12 27 11 6 →= 3 12 29 19 , 12 27 11 20 →= 3 12 29 21 , 12 27 11 22 →= 3 12 29 23 , 13 27 11 16 →= 9 12 29 18 , 13 27 11 6 →= 9 12 29 19 , 13 27 11 20 →= 9 12 29 21 , 13 27 11 22 →= 9 12 29 23 , 49 27 11 16 →= 36 12 29 18 , 49 27 11 6 →= 36 12 29 19 , 49 27 11 20 →= 36 12 29 21 , 49 27 11 22 →= 36 12 29 23 , 12 27 13 24 →= 3 12 31 26 , 12 27 13 27 →= 3 12 31 28 , 12 27 13 29 →= 3 12 31 30 , 12 27 13 31 →= 3 12 31 32 , 12 27 13 33 →= 3 12 31 34 , 13 27 13 24 →= 9 12 31 26 , 13 27 13 27 →= 9 12 31 28 , 13 27 13 29 →= 9 12 31 30 , 13 27 13 31 →= 9 12 31 32 , 13 27 13 33 →= 9 12 31 34 , 49 27 13 24 →= 36 12 31 26 , 49 27 13 27 →= 36 12 31 28 , 49 27 13 29 →= 36 12 31 30 , 49 27 13 31 →= 36 12 31 32 , 49 27 13 33 →= 36 12 31 34 , 12 27 15 41 →= 3 12 33 43 , 13 27 15 41 →= 9 12 33 43 , 49 27 15 41 →= 36 12 33 43 , 6 7 9 4 →= 20 49 27 8 , 6 7 9 3 →= 20 49 27 9 , 6 7 9 10 →= 20 49 27 11 , 6 7 9 12 →= 20 49 27 13 , 6 7 9 14 →= 20 49 27 15 , 19 7 9 4 →= 21 49 27 8 , 19 7 9 3 →= 21 49 27 9 , 19 7 9 10 →= 21 49 27 11 , 19 7 9 12 →= 21 49 27 13 , 19 7 9 14 →= 21 49 27 15 , 6 7 11 16 →= 20 49 29 18 , 6 7 11 6 →= 20 49 29 19 , 6 7 11 20 →= 20 49 29 21 , 6 7 11 22 →= 20 49 29 23 , 19 7 11 16 →= 21 49 29 18 , 19 7 11 6 →= 21 49 29 19 , 19 7 11 20 →= 21 49 29 21 , 19 7 11 22 →= 21 49 29 23 , 6 7 13 24 →= 20 49 31 26 , 6 7 13 27 →= 20 49 31 28 , 6 7 13 29 →= 20 49 31 30 , 6 7 13 31 →= 20 49 31 32 , 6 7 13 33 →= 20 49 31 34 , 19 7 13 24 →= 21 49 31 26 , 19 7 13 27 →= 21 49 31 28 , 19 7 13 29 →= 21 49 31 30 , 19 7 13 31 →= 21 49 31 32 , 19 7 13 33 →= 21 49 31 34 , 6 7 15 41 →= 20 49 33 43 , 19 7 15 41 →= 21 49 33 43 , 25 28 9 4 →= 7 13 27 8 , 25 28 9 3 →= 7 13 27 9 , 25 28 9 10 →= 7 13 27 11 , 25 28 9 12 →= 7 13 27 13 , 25 28 9 14 →= 7 13 27 15 , 31 28 9 4 →= 27 13 27 8 , 31 28 9 3 →= 27 13 27 9 , 31 28 9 10 →= 27 13 27 11 , 31 28 9 12 →= 27 13 27 13 , 31 28 9 14 →= 27 13 27 15 , 32 28 9 4 →= 28 13 27 8 , 32 28 9 3 →= 28 13 27 9 , 32 28 9 10 →= 28 13 27 11 , 32 28 9 12 →= 28 13 27 13 , 32 28 9 14 →= 28 13 27 15 , 25 28 11 16 →= 7 13 29 18 , 25 28 11 6 →= 7 13 29 19 , 25 28 11 20 →= 7 13 29 21 , 25 28 11 22 →= 7 13 29 23 , 31 28 11 16 →= 27 13 29 18 , 31 28 11 6 →= 27 13 29 19 , 31 28 11 20 →= 27 13 29 21 , 31 28 11 22 →= 27 13 29 23 , 32 28 11 16 →= 28 13 29 18 , 32 28 11 6 →= 28 13 29 19 , 32 28 11 20 →= 28 13 29 21 , 32 28 11 22 →= 28 13 29 23 , 25 28 13 24 →= 7 13 31 26 , 25 28 13 27 →= 7 13 31 28 , 25 28 13 29 →= 7 13 31 30 , 25 28 13 31 →= 7 13 31 32 , 25 28 13 33 →= 7 13 31 34 , 31 28 13 24 →= 27 13 31 26 , 31 28 13 27 →= 27 13 31 28 , 31 28 13 29 →= 27 13 31 30 , 31 28 13 31 →= 27 13 31 32 , 31 28 13 33 →= 27 13 31 34 , 32 28 13 24 →= 28 13 31 26 , 32 28 13 27 →= 28 13 31 28 , 32 28 13 29 →= 28 13 31 30 , 32 28 13 31 →= 28 13 31 32 , 32 28 13 33 →= 28 13 31 34 , 25 28 15 41 →= 7 13 33 43 , 31 28 15 41 →= 27 13 33 43 , 32 28 15 41 →= 28 13 33 43 , 12 29 21 36 →= 10 20 36 3 , 12 29 21 38 →= 10 20 36 10 , 12 29 21 49 →= 10 20 36 12 , 12 29 21 50 →= 10 20 36 14 , 13 29 21 36 →= 11 20 36 3 , 13 29 21 38 →= 11 20 36 10 , 13 29 21 49 →= 11 20 36 12 , 13 29 21 50 →= 11 20 36 14 , 49 29 21 36 →= 38 20 36 3 , 49 29 21 38 →= 38 20 36 10 , 49 29 21 49 →= 38 20 36 12 , 49 29 21 50 →= 38 20 36 14 , 12 29 23 45 →= 10 20 38 20 , 13 29 23 45 →= 11 20 38 20 , 49 29 23 45 →= 38 20 38 20 , 12 29 19 7 →= 10 20 49 27 , 12 29 19 17 →= 10 20 49 29 , 12 29 19 25 →= 10 20 49 31 , 12 29 19 42 →= 10 20 49 33 , 13 29 19 7 →= 11 20 49 27 , 13 29 19 17 →= 11 20 49 29 , 13 29 19 25 →= 11 20 49 31 , 13 29 19 42 →= 11 20 49 33 , 49 29 19 7 →= 38 20 49 27 , 49 29 19 17 →= 38 20 49 29 , 49 29 19 25 →= 38 20 49 31 , 49 29 19 42 →= 38 20 49 33 , 6 17 21 36 →= 22 45 36 3 , 6 17 21 38 →= 22 45 36 10 , 6 17 21 49 →= 22 45 36 12 , 6 17 21 50 →= 22 45 36 14 , 19 17 21 36 →= 23 45 36 3 , 19 17 21 38 →= 23 45 36 10 , 19 17 21 49 →= 23 45 36 12 , 19 17 21 50 →= 23 45 36 14 , 6 17 23 45 →= 22 45 38 20 , 19 17 23 45 →= 23 45 38 20 , 6 17 19 7 →= 22 45 49 27 , 6 17 19 17 →= 22 45 49 29 , 6 17 19 25 →= 22 45 49 31 , 6 17 19 42 →= 22 45 49 33 , 19 17 19 7 →= 23 45 49 27 , 19 17 19 17 →= 23 45 49 29 , 19 17 19 25 →= 23 45 49 31 , 19 17 19 42 →= 23 45 49 33 , 25 30 21 36 →= 17 21 36 3 , 25 30 21 38 →= 17 21 36 10 , 25 30 21 49 →= 17 21 36 12 , 25 30 21 50 →= 17 21 36 14 , 31 30 21 36 →= 29 21 36 3 , 31 30 21 38 →= 29 21 36 10 , 31 30 21 49 →= 29 21 36 12 , 31 30 21 50 →= 29 21 36 14 , 32 30 21 36 →= 30 21 36 3 , 32 30 21 38 →= 30 21 36 10 , 32 30 21 49 →= 30 21 36 12 , 32 30 21 50 →= 30 21 36 14 , 25 30 23 45 →= 17 21 38 20 , 31 30 23 45 →= 29 21 38 20 , 32 30 23 45 →= 30 21 38 20 , 25 30 19 7 →= 17 21 49 27 , 25 30 19 17 →= 17 21 49 29 , 25 30 19 25 →= 17 21 49 31 , 25 30 19 42 →= 17 21 49 33 , 31 30 19 7 →= 29 21 49 27 , 31 30 19 17 →= 29 21 49 29 , 31 30 19 25 →= 29 21 49 31 , 31 30 19 42 →= 29 21 49 33 , 32 30 19 7 →= 30 21 49 27 , 32 30 19 17 →= 30 21 49 29 , 32 30 19 25 →= 30 21 49 31 , 32 30 19 42 →= 30 21 49 33 , 51 52 40 3 4 →= 51 52 39 6 7 8 , 51 52 40 3 3 →= 51 52 39 6 7 9 , 51 52 40 3 10 →= 51 52 39 6 7 11 , 51 52 40 3 12 →= 51 52 39 6 7 13 , 51 52 40 3 14 →= 51 52 39 6 7 15 , 51 52 40 10 16 →= 51 52 39 6 17 18 , 51 52 40 10 6 →= 51 52 39 6 17 19 , 51 52 40 10 20 →= 51 52 39 6 17 21 , 51 52 40 10 22 →= 51 52 39 6 17 23 , 51 52 40 12 24 →= 51 52 39 6 25 26 , 51 52 40 12 27 →= 51 52 39 6 25 28 , 51 52 40 12 29 →= 51 52 39 6 25 30 , 51 52 40 12 31 →= 51 52 39 6 25 32 , 51 52 40 12 33 →= 51 52 39 6 25 34 , 12 33 43 53 →= 10 20 50 41 53 , 13 33 43 53 →= 11 20 50 41 53 , 49 33 43 53 →= 38 20 50 41 53 , 6 42 43 53 →= 22 45 50 41 53 , 19 42 43 53 →= 23 45 50 41 53 , 25 34 43 53 →= 17 21 50 41 53 , 31 34 43 53 →= 29 21 50 41 53 , 32 34 43 53 →= 30 21 50 41 53 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 44 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 45 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 46 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 47 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 48 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 49 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 50 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 51 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 52 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 53 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 9 ↦ 7, 10 ↦ 8, 11 ↦ 9, 12 ↦ 10, 13 ↦ 11, 14 ↦ 12, 15 ↦ 13, 17 ↦ 14, 19 ↦ 15, 20 ↦ 16, 21 ↦ 17, 22 ↦ 18, 23 ↦ 19, 27 ↦ 20, 25 ↦ 21, 28 ↦ 22, 29 ↦ 23, 30 ↦ 24, 31 ↦ 25, 32 ↦ 26, 33 ↦ 27, 34 ↦ 28, 36 ↦ 29, 38 ↦ 30, 39 ↦ 31, 40 ↦ 32, 41 ↦ 33, 42 ↦ 34, 43 ↦ 35, 45 ↦ 36, 49 ↦ 37, 50 ↦ 38, 51 ↦ 39, 52 ↦ 40, 53 ↦ 41 }, it remains to prove termination of the 318-rule system { 0 1 2 3 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 0 1 4 5 6 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 0 1 4 5 6 11 , 0 1 2 3 12 ⟶ 0 1 4 5 6 13 , 0 1 2 8 5 ⟶ 0 1 4 5 14 15 , 0 1 2 8 16 ⟶ 0 1 4 5 14 17 , 0 1 2 8 18 ⟶ 0 1 4 5 14 19 , 0 1 2 10 20 ⟶ 0 1 4 5 21 22 , 0 1 2 10 23 ⟶ 0 1 4 5 21 24 , 0 1 2 10 25 ⟶ 0 1 4 5 21 26 , 0 1 2 10 27 ⟶ 0 1 4 5 21 28 , 4 16 29 3 3 →= 2 8 5 6 7 , 4 16 29 3 8 →= 2 8 5 6 9 , 4 16 29 3 10 →= 2 8 5 6 11 , 4 16 29 3 12 →= 2 8 5 6 13 , 8 16 29 3 3 →= 3 8 5 6 7 , 8 16 29 3 8 →= 3 8 5 6 9 , 8 16 29 3 10 →= 3 8 5 6 11 , 8 16 29 3 12 →= 3 8 5 6 13 , 9 16 29 3 3 →= 7 8 5 6 7 , 9 16 29 3 8 →= 7 8 5 6 9 , 9 16 29 3 10 →= 7 8 5 6 11 , 9 16 29 3 12 →= 7 8 5 6 13 , 30 16 29 3 3 →= 29 8 5 6 7 , 30 16 29 3 8 →= 29 8 5 6 9 , 30 16 29 3 10 →= 29 8 5 6 11 , 30 16 29 3 12 →= 29 8 5 6 13 , 31 16 29 3 3 →= 32 8 5 6 7 , 31 16 29 3 8 →= 32 8 5 6 9 , 31 16 29 3 10 →= 32 8 5 6 11 , 31 16 29 3 12 →= 32 8 5 6 13 , 4 16 29 8 5 →= 2 8 5 14 15 , 4 16 29 8 16 →= 2 8 5 14 17 , 4 16 29 8 18 →= 2 8 5 14 19 , 8 16 29 8 5 →= 3 8 5 14 15 , 8 16 29 8 16 →= 3 8 5 14 17 , 8 16 29 8 18 →= 3 8 5 14 19 , 9 16 29 8 5 →= 7 8 5 14 15 , 9 16 29 8 16 →= 7 8 5 14 17 , 9 16 29 8 18 →= 7 8 5 14 19 , 30 16 29 8 5 →= 29 8 5 14 15 , 30 16 29 8 16 →= 29 8 5 14 17 , 30 16 29 8 18 →= 29 8 5 14 19 , 31 16 29 8 5 →= 32 8 5 14 15 , 31 16 29 8 16 →= 32 8 5 14 17 , 31 16 29 8 18 →= 32 8 5 14 19 , 4 16 29 10 20 →= 2 8 5 21 22 , 4 16 29 10 23 →= 2 8 5 21 24 , 4 16 29 10 25 →= 2 8 5 21 26 , 4 16 29 10 27 →= 2 8 5 21 28 , 8 16 29 10 20 →= 3 8 5 21 22 , 8 16 29 10 23 →= 3 8 5 21 24 , 8 16 29 10 25 →= 3 8 5 21 26 , 8 16 29 10 27 →= 3 8 5 21 28 , 9 16 29 10 20 →= 7 8 5 21 22 , 9 16 29 10 23 →= 7 8 5 21 24 , 9 16 29 10 25 →= 7 8 5 21 26 , 9 16 29 10 27 →= 7 8 5 21 28 , 30 16 29 10 20 →= 29 8 5 21 22 , 30 16 29 10 23 →= 29 8 5 21 24 , 30 16 29 10 25 →= 29 8 5 21 26 , 30 16 29 10 27 →= 29 8 5 21 28 , 31 16 29 10 20 →= 32 8 5 21 22 , 31 16 29 10 23 →= 32 8 5 21 24 , 31 16 29 10 25 →= 32 8 5 21 26 , 31 16 29 10 27 →= 32 8 5 21 28 , 4 16 29 12 33 →= 2 8 5 34 35 , 8 16 29 12 33 →= 3 8 5 34 35 , 9 16 29 12 33 →= 7 8 5 34 35 , 30 16 29 12 33 →= 29 8 5 34 35 , 31 16 29 12 33 →= 32 8 5 34 35 , 18 36 29 3 3 →= 16 30 5 6 7 , 18 36 29 3 8 →= 16 30 5 6 9 , 18 36 29 3 10 →= 16 30 5 6 11 , 18 36 29 3 12 →= 16 30 5 6 13 , 19 36 29 3 3 →= 17 30 5 6 7 , 19 36 29 3 8 →= 17 30 5 6 9 , 19 36 29 3 10 →= 17 30 5 6 11 , 19 36 29 3 12 →= 17 30 5 6 13 , 18 36 29 8 5 →= 16 30 5 14 15 , 18 36 29 8 16 →= 16 30 5 14 17 , 18 36 29 8 18 →= 16 30 5 14 19 , 19 36 29 8 5 →= 17 30 5 14 15 , 19 36 29 8 16 →= 17 30 5 14 17 , 19 36 29 8 18 →= 17 30 5 14 19 , 18 36 29 10 20 →= 16 30 5 21 22 , 18 36 29 10 23 →= 16 30 5 21 24 , 18 36 29 10 25 →= 16 30 5 21 26 , 18 36 29 10 27 →= 16 30 5 21 28 , 19 36 29 10 20 →= 17 30 5 21 22 , 19 36 29 10 23 →= 17 30 5 21 24 , 19 36 29 10 25 →= 17 30 5 21 26 , 19 36 29 10 27 →= 17 30 5 21 28 , 18 36 29 12 33 →= 16 30 5 34 35 , 19 36 29 12 33 →= 17 30 5 34 35 , 14 17 29 3 3 →= 6 9 5 6 7 , 14 17 29 3 8 →= 6 9 5 6 9 , 14 17 29 3 10 →= 6 9 5 6 11 , 14 17 29 3 12 →= 6 9 5 6 13 , 23 17 29 3 3 →= 20 9 5 6 7 , 23 17 29 3 8 →= 20 9 5 6 9 , 23 17 29 3 10 →= 20 9 5 6 11 , 23 17 29 3 12 →= 20 9 5 6 13 , 24 17 29 3 3 →= 22 9 5 6 7 , 24 17 29 3 8 →= 22 9 5 6 9 , 24 17 29 3 10 →= 22 9 5 6 11 , 24 17 29 3 12 →= 22 9 5 6 13 , 14 17 29 8 5 →= 6 9 5 14 15 , 14 17 29 8 16 →= 6 9 5 14 17 , 14 17 29 8 18 →= 6 9 5 14 19 , 23 17 29 8 5 →= 20 9 5 14 15 , 23 17 29 8 16 →= 20 9 5 14 17 , 23 17 29 8 18 →= 20 9 5 14 19 , 24 17 29 8 5 →= 22 9 5 14 15 , 24 17 29 8 16 →= 22 9 5 14 17 , 24 17 29 8 18 →= 22 9 5 14 19 , 14 17 29 10 20 →= 6 9 5 21 22 , 14 17 29 10 23 →= 6 9 5 21 24 , 14 17 29 10 25 →= 6 9 5 21 26 , 14 17 29 10 27 →= 6 9 5 21 28 , 23 17 29 10 20 →= 20 9 5 21 22 , 23 17 29 10 23 →= 20 9 5 21 24 , 23 17 29 10 25 →= 20 9 5 21 26 , 23 17 29 10 27 →= 20 9 5 21 28 , 24 17 29 10 20 →= 22 9 5 21 22 , 24 17 29 10 23 →= 22 9 5 21 24 , 24 17 29 10 25 →= 22 9 5 21 26 , 24 17 29 10 27 →= 22 9 5 21 28 , 14 17 29 12 33 →= 6 9 5 34 35 , 23 17 29 12 33 →= 20 9 5 34 35 , 24 17 29 12 33 →= 22 9 5 34 35 , 10 20 7 3 →= 3 10 20 7 , 10 20 7 8 →= 3 10 20 9 , 10 20 7 10 →= 3 10 20 11 , 10 20 7 12 →= 3 10 20 13 , 11 20 7 3 →= 7 10 20 7 , 11 20 7 8 →= 7 10 20 9 , 11 20 7 10 →= 7 10 20 11 , 11 20 7 12 →= 7 10 20 13 , 37 20 7 3 →= 29 10 20 7 , 37 20 7 8 →= 29 10 20 9 , 37 20 7 10 →= 29 10 20 11 , 37 20 7 12 →= 29 10 20 13 , 10 20 9 5 →= 3 10 23 15 , 10 20 9 16 →= 3 10 23 17 , 10 20 9 18 →= 3 10 23 19 , 11 20 9 5 →= 7 10 23 15 , 11 20 9 16 →= 7 10 23 17 , 11 20 9 18 →= 7 10 23 19 , 37 20 9 5 →= 29 10 23 15 , 37 20 9 16 →= 29 10 23 17 , 37 20 9 18 →= 29 10 23 19 , 10 20 11 20 →= 3 10 25 22 , 10 20 11 23 →= 3 10 25 24 , 10 20 11 25 →= 3 10 25 26 , 10 20 11 27 →= 3 10 25 28 , 11 20 11 20 →= 7 10 25 22 , 11 20 11 23 →= 7 10 25 24 , 11 20 11 25 →= 7 10 25 26 , 11 20 11 27 →= 7 10 25 28 , 37 20 11 20 →= 29 10 25 22 , 37 20 11 23 →= 29 10 25 24 , 37 20 11 25 →= 29 10 25 26 , 37 20 11 27 →= 29 10 25 28 , 10 20 13 33 →= 3 10 27 35 , 11 20 13 33 →= 7 10 27 35 , 37 20 13 33 →= 29 10 27 35 , 5 6 7 3 →= 16 37 20 7 , 5 6 7 8 →= 16 37 20 9 , 5 6 7 10 →= 16 37 20 11 , 5 6 7 12 →= 16 37 20 13 , 15 6 7 3 →= 17 37 20 7 , 15 6 7 8 →= 17 37 20 9 , 15 6 7 10 →= 17 37 20 11 , 15 6 7 12 →= 17 37 20 13 , 5 6 9 5 →= 16 37 23 15 , 5 6 9 16 →= 16 37 23 17 , 5 6 9 18 →= 16 37 23 19 , 15 6 9 5 →= 17 37 23 15 , 15 6 9 16 →= 17 37 23 17 , 15 6 9 18 →= 17 37 23 19 , 5 6 11 20 →= 16 37 25 22 , 5 6 11 23 →= 16 37 25 24 , 5 6 11 25 →= 16 37 25 26 , 5 6 11 27 →= 16 37 25 28 , 15 6 11 20 →= 17 37 25 22 , 15 6 11 23 →= 17 37 25 24 , 15 6 11 25 →= 17 37 25 26 , 15 6 11 27 →= 17 37 25 28 , 5 6 13 33 →= 16 37 27 35 , 15 6 13 33 →= 17 37 27 35 , 21 22 7 3 →= 6 11 20 7 , 21 22 7 8 →= 6 11 20 9 , 21 22 7 10 →= 6 11 20 11 , 21 22 7 12 →= 6 11 20 13 , 25 22 7 3 →= 20 11 20 7 , 25 22 7 8 →= 20 11 20 9 , 25 22 7 10 →= 20 11 20 11 , 25 22 7 12 →= 20 11 20 13 , 26 22 7 3 →= 22 11 20 7 , 26 22 7 8 →= 22 11 20 9 , 26 22 7 10 →= 22 11 20 11 , 26 22 7 12 →= 22 11 20 13 , 21 22 9 5 →= 6 11 23 15 , 21 22 9 16 →= 6 11 23 17 , 21 22 9 18 →= 6 11 23 19 , 25 22 9 5 →= 20 11 23 15 , 25 22 9 16 →= 20 11 23 17 , 25 22 9 18 →= 20 11 23 19 , 26 22 9 5 →= 22 11 23 15 , 26 22 9 16 →= 22 11 23 17 , 26 22 9 18 →= 22 11 23 19 , 21 22 11 20 →= 6 11 25 22 , 21 22 11 23 →= 6 11 25 24 , 21 22 11 25 →= 6 11 25 26 , 21 22 11 27 →= 6 11 25 28 , 25 22 11 20 →= 20 11 25 22 , 25 22 11 23 →= 20 11 25 24 , 25 22 11 25 →= 20 11 25 26 , 25 22 11 27 →= 20 11 25 28 , 26 22 11 20 →= 22 11 25 22 , 26 22 11 23 →= 22 11 25 24 , 26 22 11 25 →= 22 11 25 26 , 26 22 11 27 →= 22 11 25 28 , 21 22 13 33 →= 6 11 27 35 , 25 22 13 33 →= 20 11 27 35 , 26 22 13 33 →= 22 11 27 35 , 10 23 17 29 →= 8 16 29 3 , 10 23 17 30 →= 8 16 29 8 , 10 23 17 37 →= 8 16 29 10 , 10 23 17 38 →= 8 16 29 12 , 11 23 17 29 →= 9 16 29 3 , 11 23 17 30 →= 9 16 29 8 , 11 23 17 37 →= 9 16 29 10 , 11 23 17 38 →= 9 16 29 12 , 37 23 17 29 →= 30 16 29 3 , 37 23 17 30 →= 30 16 29 8 , 37 23 17 37 →= 30 16 29 10 , 37 23 17 38 →= 30 16 29 12 , 10 23 19 36 →= 8 16 30 16 , 11 23 19 36 →= 9 16 30 16 , 37 23 19 36 →= 30 16 30 16 , 10 23 15 6 →= 8 16 37 20 , 10 23 15 14 →= 8 16 37 23 , 10 23 15 21 →= 8 16 37 25 , 10 23 15 34 →= 8 16 37 27 , 11 23 15 6 →= 9 16 37 20 , 11 23 15 14 →= 9 16 37 23 , 11 23 15 21 →= 9 16 37 25 , 11 23 15 34 →= 9 16 37 27 , 37 23 15 6 →= 30 16 37 20 , 37 23 15 14 →= 30 16 37 23 , 37 23 15 21 →= 30 16 37 25 , 37 23 15 34 →= 30 16 37 27 , 5 14 17 29 →= 18 36 29 3 , 5 14 17 30 →= 18 36 29 8 , 5 14 17 37 →= 18 36 29 10 , 5 14 17 38 →= 18 36 29 12 , 15 14 17 29 →= 19 36 29 3 , 15 14 17 30 →= 19 36 29 8 , 15 14 17 37 →= 19 36 29 10 , 15 14 17 38 →= 19 36 29 12 , 5 14 19 36 →= 18 36 30 16 , 15 14 19 36 →= 19 36 30 16 , 5 14 15 6 →= 18 36 37 20 , 5 14 15 14 →= 18 36 37 23 , 5 14 15 21 →= 18 36 37 25 , 5 14 15 34 →= 18 36 37 27 , 15 14 15 6 →= 19 36 37 20 , 15 14 15 14 →= 19 36 37 23 , 15 14 15 21 →= 19 36 37 25 , 15 14 15 34 →= 19 36 37 27 , 21 24 17 29 →= 14 17 29 3 , 21 24 17 30 →= 14 17 29 8 , 21 24 17 37 →= 14 17 29 10 , 21 24 17 38 →= 14 17 29 12 , 25 24 17 29 →= 23 17 29 3 , 25 24 17 30 →= 23 17 29 8 , 25 24 17 37 →= 23 17 29 10 , 25 24 17 38 →= 23 17 29 12 , 26 24 17 29 →= 24 17 29 3 , 26 24 17 30 →= 24 17 29 8 , 26 24 17 37 →= 24 17 29 10 , 26 24 17 38 →= 24 17 29 12 , 21 24 19 36 →= 14 17 30 16 , 25 24 19 36 →= 23 17 30 16 , 26 24 19 36 →= 24 17 30 16 , 21 24 15 6 →= 14 17 37 20 , 21 24 15 14 →= 14 17 37 23 , 21 24 15 21 →= 14 17 37 25 , 21 24 15 34 →= 14 17 37 27 , 25 24 15 6 →= 23 17 37 20 , 25 24 15 14 →= 23 17 37 23 , 25 24 15 21 →= 23 17 37 25 , 25 24 15 34 →= 23 17 37 27 , 26 24 15 6 →= 24 17 37 20 , 26 24 15 14 →= 24 17 37 23 , 26 24 15 21 →= 24 17 37 25 , 26 24 15 34 →= 24 17 37 27 , 39 40 32 3 3 →= 39 40 31 5 6 7 , 39 40 32 3 8 →= 39 40 31 5 6 9 , 39 40 32 3 10 →= 39 40 31 5 6 11 , 39 40 32 3 12 →= 39 40 31 5 6 13 , 39 40 32 8 5 →= 39 40 31 5 14 15 , 39 40 32 8 16 →= 39 40 31 5 14 17 , 39 40 32 8 18 →= 39 40 31 5 14 19 , 39 40 32 10 20 →= 39 40 31 5 21 22 , 39 40 32 10 23 →= 39 40 31 5 21 24 , 39 40 32 10 25 →= 39 40 31 5 21 26 , 39 40 32 10 27 →= 39 40 31 5 21 28 , 10 27 35 41 →= 8 16 38 33 41 , 11 27 35 41 →= 9 16 38 33 41 , 37 27 35 41 →= 30 16 38 33 41 , 5 34 35 41 →= 18 36 38 33 41 , 15 34 35 41 →= 19 36 38 33 41 , 21 28 35 41 →= 14 17 38 33 41 , 25 28 35 41 →= 23 17 38 33 41 , 26 28 35 41 →= 24 17 38 33 41 } Applying sparse untiling TROCU(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 29 ↦ 20, 30 ↦ 21, 31 ↦ 22, 32 ↦ 23, 20 ↦ 24, 21 ↦ 25, 22 ↦ 26, 23 ↦ 27, 24 ↦ 28, 25 ↦ 29, 26 ↦ 30, 27 ↦ 31, 28 ↦ 32, 33 ↦ 33, 34 ↦ 34, 35 ↦ 35, 36 ↦ 36, 37 ↦ 37, 38 ↦ 38, 39 ↦ 39, 40 ↦ 40, 41 ↦ 41 }, it remains to prove termination of the 310-rule system { 0 1 2 3 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 0 1 4 5 6 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 0 1 4 5 6 11 , 0 1 2 3 12 ⟶ 0 1 4 5 6 13 , 0 1 2 8 5 ⟶ 0 1 4 5 14 15 , 0 1 2 8 16 ⟶ 0 1 4 5 14 17 , 0 1 2 8 18 ⟶ 0 1 4 5 14 19 , 4 16 20 3 3 →= 2 8 5 6 7 , 4 16 20 3 8 →= 2 8 5 6 9 , 4 16 20 3 10 →= 2 8 5 6 11 , 4 16 20 3 12 →= 2 8 5 6 13 , 8 16 20 3 3 →= 3 8 5 6 7 , 8 16 20 3 8 →= 3 8 5 6 9 , 8 16 20 3 10 →= 3 8 5 6 11 , 8 16 20 3 12 →= 3 8 5 6 13 , 9 16 20 3 3 →= 7 8 5 6 7 , 9 16 20 3 8 →= 7 8 5 6 9 , 9 16 20 3 10 →= 7 8 5 6 11 , 9 16 20 3 12 →= 7 8 5 6 13 , 21 16 20 3 3 →= 20 8 5 6 7 , 21 16 20 3 8 →= 20 8 5 6 9 , 21 16 20 3 10 →= 20 8 5 6 11 , 21 16 20 3 12 →= 20 8 5 6 13 , 22 16 20 3 3 →= 23 8 5 6 7 , 22 16 20 3 8 →= 23 8 5 6 9 , 22 16 20 3 10 →= 23 8 5 6 11 , 22 16 20 3 12 →= 23 8 5 6 13 , 4 16 20 8 5 →= 2 8 5 14 15 , 4 16 20 8 16 →= 2 8 5 14 17 , 4 16 20 8 18 →= 2 8 5 14 19 , 8 16 20 8 5 →= 3 8 5 14 15 , 8 16 20 8 16 →= 3 8 5 14 17 , 8 16 20 8 18 →= 3 8 5 14 19 , 9 16 20 8 5 →= 7 8 5 14 15 , 9 16 20 8 16 →= 7 8 5 14 17 , 9 16 20 8 18 →= 7 8 5 14 19 , 21 16 20 8 5 →= 20 8 5 14 15 , 21 16 20 8 16 →= 20 8 5 14 17 , 21 16 20 8 18 →= 20 8 5 14 19 , 22 16 20 8 5 →= 23 8 5 14 15 , 22 16 20 8 16 →= 23 8 5 14 17 , 22 16 20 8 18 →= 23 8 5 14 19 , 4 16 20 10 24 →= 2 8 5 25 26 , 4 16 20 10 27 →= 2 8 5 25 28 , 4 16 20 10 29 →= 2 8 5 25 30 , 4 16 20 10 31 →= 2 8 5 25 32 , 8 16 20 10 24 →= 3 8 5 25 26 , 8 16 20 10 27 →= 3 8 5 25 28 , 8 16 20 10 29 →= 3 8 5 25 30 , 8 16 20 10 31 →= 3 8 5 25 32 , 9 16 20 10 24 →= 7 8 5 25 26 , 9 16 20 10 27 →= 7 8 5 25 28 , 9 16 20 10 29 →= 7 8 5 25 30 , 9 16 20 10 31 →= 7 8 5 25 32 , 21 16 20 10 24 →= 20 8 5 25 26 , 21 16 20 10 27 →= 20 8 5 25 28 , 21 16 20 10 29 →= 20 8 5 25 30 , 21 16 20 10 31 →= 20 8 5 25 32 , 22 16 20 10 24 →= 23 8 5 25 26 , 22 16 20 10 27 →= 23 8 5 25 28 , 22 16 20 10 29 →= 23 8 5 25 30 , 22 16 20 10 31 →= 23 8 5 25 32 , 4 16 20 12 33 →= 2 8 5 34 35 , 8 16 20 12 33 →= 3 8 5 34 35 , 9 16 20 12 33 →= 7 8 5 34 35 , 21 16 20 12 33 →= 20 8 5 34 35 , 22 16 20 12 33 →= 23 8 5 34 35 , 18 36 20 3 3 →= 16 21 5 6 7 , 18 36 20 3 8 →= 16 21 5 6 9 , 18 36 20 3 10 →= 16 21 5 6 11 , 18 36 20 3 12 →= 16 21 5 6 13 , 19 36 20 3 3 →= 17 21 5 6 7 , 19 36 20 3 8 →= 17 21 5 6 9 , 19 36 20 3 10 →= 17 21 5 6 11 , 19 36 20 3 12 →= 17 21 5 6 13 , 18 36 20 8 5 →= 16 21 5 14 15 , 18 36 20 8 16 →= 16 21 5 14 17 , 18 36 20 8 18 →= 16 21 5 14 19 , 19 36 20 8 5 →= 17 21 5 14 15 , 19 36 20 8 16 →= 17 21 5 14 17 , 19 36 20 8 18 →= 17 21 5 14 19 , 18 36 20 10 24 →= 16 21 5 25 26 , 18 36 20 10 27 →= 16 21 5 25 28 , 18 36 20 10 29 →= 16 21 5 25 30 , 18 36 20 10 31 →= 16 21 5 25 32 , 19 36 20 10 24 →= 17 21 5 25 26 , 19 36 20 10 27 →= 17 21 5 25 28 , 19 36 20 10 29 →= 17 21 5 25 30 , 19 36 20 10 31 →= 17 21 5 25 32 , 18 36 20 12 33 →= 16 21 5 34 35 , 19 36 20 12 33 →= 17 21 5 34 35 , 14 17 20 3 3 →= 6 9 5 6 7 , 14 17 20 3 8 →= 6 9 5 6 9 , 14 17 20 3 10 →= 6 9 5 6 11 , 14 17 20 3 12 →= 6 9 5 6 13 , 27 17 20 3 3 →= 24 9 5 6 7 , 27 17 20 3 8 →= 24 9 5 6 9 , 27 17 20 3 10 →= 24 9 5 6 11 , 27 17 20 3 12 →= 24 9 5 6 13 , 28 17 20 3 3 →= 26 9 5 6 7 , 28 17 20 3 8 →= 26 9 5 6 9 , 28 17 20 3 10 →= 26 9 5 6 11 , 28 17 20 3 12 →= 26 9 5 6 13 , 14 17 20 8 5 →= 6 9 5 14 15 , 14 17 20 8 16 →= 6 9 5 14 17 , 14 17 20 8 18 →= 6 9 5 14 19 , 27 17 20 8 5 →= 24 9 5 14 15 , 27 17 20 8 16 →= 24 9 5 14 17 , 27 17 20 8 18 →= 24 9 5 14 19 , 28 17 20 8 5 →= 26 9 5 14 15 , 28 17 20 8 16 →= 26 9 5 14 17 , 28 17 20 8 18 →= 26 9 5 14 19 , 14 17 20 10 24 →= 6 9 5 25 26 , 14 17 20 10 27 →= 6 9 5 25 28 , 14 17 20 10 29 →= 6 9 5 25 30 , 14 17 20 10 31 →= 6 9 5 25 32 , 27 17 20 10 24 →= 24 9 5 25 26 , 27 17 20 10 27 →= 24 9 5 25 28 , 27 17 20 10 29 →= 24 9 5 25 30 , 27 17 20 10 31 →= 24 9 5 25 32 , 28 17 20 10 24 →= 26 9 5 25 26 , 28 17 20 10 27 →= 26 9 5 25 28 , 28 17 20 10 29 →= 26 9 5 25 30 , 28 17 20 10 31 →= 26 9 5 25 32 , 14 17 20 12 33 →= 6 9 5 34 35 , 27 17 20 12 33 →= 24 9 5 34 35 , 28 17 20 12 33 →= 26 9 5 34 35 , 10 24 7 3 →= 3 10 24 7 , 10 24 7 8 →= 3 10 24 9 , 10 24 7 10 →= 3 10 24 11 , 10 24 7 12 →= 3 10 24 13 , 11 24 7 3 →= 7 10 24 7 , 11 24 7 8 →= 7 10 24 9 , 11 24 7 10 →= 7 10 24 11 , 11 24 7 12 →= 7 10 24 13 , 37 24 7 3 →= 20 10 24 7 , 37 24 7 8 →= 20 10 24 9 , 37 24 7 10 →= 20 10 24 11 , 37 24 7 12 →= 20 10 24 13 , 10 24 9 5 →= 3 10 27 15 , 10 24 9 16 →= 3 10 27 17 , 10 24 9 18 →= 3 10 27 19 , 11 24 9 5 →= 7 10 27 15 , 11 24 9 16 →= 7 10 27 17 , 11 24 9 18 →= 7 10 27 19 , 37 24 9 5 →= 20 10 27 15 , 37 24 9 16 →= 20 10 27 17 , 37 24 9 18 →= 20 10 27 19 , 10 24 11 24 →= 3 10 29 26 , 10 24 11 27 →= 3 10 29 28 , 10 24 11 29 →= 3 10 29 30 , 10 24 11 31 →= 3 10 29 32 , 11 24 11 24 →= 7 10 29 26 , 11 24 11 27 →= 7 10 29 28 , 11 24 11 29 →= 7 10 29 30 , 11 24 11 31 →= 7 10 29 32 , 37 24 11 24 →= 20 10 29 26 , 37 24 11 27 →= 20 10 29 28 , 37 24 11 29 →= 20 10 29 30 , 37 24 11 31 →= 20 10 29 32 , 10 24 13 33 →= 3 10 31 35 , 11 24 13 33 →= 7 10 31 35 , 37 24 13 33 →= 20 10 31 35 , 5 6 7 3 →= 16 37 24 7 , 5 6 7 8 →= 16 37 24 9 , 5 6 7 10 →= 16 37 24 11 , 5 6 7 12 →= 16 37 24 13 , 15 6 7 3 →= 17 37 24 7 , 15 6 7 8 →= 17 37 24 9 , 15 6 7 10 →= 17 37 24 11 , 15 6 7 12 →= 17 37 24 13 , 5 6 9 5 →= 16 37 27 15 , 5 6 9 16 →= 16 37 27 17 , 5 6 9 18 →= 16 37 27 19 , 15 6 9 5 →= 17 37 27 15 , 15 6 9 16 →= 17 37 27 17 , 15 6 9 18 →= 17 37 27 19 , 5 6 11 24 →= 16 37 29 26 , 5 6 11 27 →= 16 37 29 28 , 5 6 11 29 →= 16 37 29 30 , 5 6 11 31 →= 16 37 29 32 , 15 6 11 24 →= 17 37 29 26 , 15 6 11 27 →= 17 37 29 28 , 15 6 11 29 →= 17 37 29 30 , 15 6 11 31 →= 17 37 29 32 , 5 6 13 33 →= 16 37 31 35 , 15 6 13 33 →= 17 37 31 35 , 25 26 7 3 →= 6 11 24 7 , 25 26 7 8 →= 6 11 24 9 , 25 26 7 10 →= 6 11 24 11 , 25 26 7 12 →= 6 11 24 13 , 29 26 7 3 →= 24 11 24 7 , 29 26 7 8 →= 24 11 24 9 , 29 26 7 10 →= 24 11 24 11 , 29 26 7 12 →= 24 11 24 13 , 30 26 7 3 →= 26 11 24 7 , 30 26 7 8 →= 26 11 24 9 , 30 26 7 10 →= 26 11 24 11 , 30 26 7 12 →= 26 11 24 13 , 25 26 9 5 →= 6 11 27 15 , 25 26 9 16 →= 6 11 27 17 , 25 26 9 18 →= 6 11 27 19 , 29 26 9 5 →= 24 11 27 15 , 29 26 9 16 →= 24 11 27 17 , 29 26 9 18 →= 24 11 27 19 , 30 26 9 5 →= 26 11 27 15 , 30 26 9 16 →= 26 11 27 17 , 30 26 9 18 →= 26 11 27 19 , 25 26 11 24 →= 6 11 29 26 , 25 26 11 27 →= 6 11 29 28 , 25 26 11 29 →= 6 11 29 30 , 25 26 11 31 →= 6 11 29 32 , 29 26 11 24 →= 24 11 29 26 , 29 26 11 27 →= 24 11 29 28 , 29 26 11 29 →= 24 11 29 30 , 29 26 11 31 →= 24 11 29 32 , 30 26 11 24 →= 26 11 29 26 , 30 26 11 27 →= 26 11 29 28 , 30 26 11 29 →= 26 11 29 30 , 30 26 11 31 →= 26 11 29 32 , 25 26 13 33 →= 6 11 31 35 , 29 26 13 33 →= 24 11 31 35 , 30 26 13 33 →= 26 11 31 35 , 10 27 17 20 →= 8 16 20 3 , 10 27 17 21 →= 8 16 20 8 , 10 27 17 37 →= 8 16 20 10 , 10 27 17 38 →= 8 16 20 12 , 11 27 17 20 →= 9 16 20 3 , 11 27 17 21 →= 9 16 20 8 , 11 27 17 37 →= 9 16 20 10 , 11 27 17 38 →= 9 16 20 12 , 37 27 17 20 →= 21 16 20 3 , 37 27 17 21 →= 21 16 20 8 , 37 27 17 37 →= 21 16 20 10 , 37 27 17 38 →= 21 16 20 12 , 10 27 19 36 →= 8 16 21 16 , 11 27 19 36 →= 9 16 21 16 , 37 27 19 36 →= 21 16 21 16 , 10 27 15 6 →= 8 16 37 24 , 10 27 15 14 →= 8 16 37 27 , 10 27 15 25 →= 8 16 37 29 , 10 27 15 34 →= 8 16 37 31 , 11 27 15 6 →= 9 16 37 24 , 11 27 15 14 →= 9 16 37 27 , 11 27 15 25 →= 9 16 37 29 , 11 27 15 34 →= 9 16 37 31 , 37 27 15 6 →= 21 16 37 24 , 37 27 15 14 →= 21 16 37 27 , 37 27 15 25 →= 21 16 37 29 , 37 27 15 34 →= 21 16 37 31 , 5 14 17 20 →= 18 36 20 3 , 5 14 17 21 →= 18 36 20 8 , 5 14 17 37 →= 18 36 20 10 , 5 14 17 38 →= 18 36 20 12 , 15 14 17 20 →= 19 36 20 3 , 15 14 17 21 →= 19 36 20 8 , 15 14 17 37 →= 19 36 20 10 , 15 14 17 38 →= 19 36 20 12 , 5 14 19 36 →= 18 36 21 16 , 15 14 19 36 →= 19 36 21 16 , 5 14 15 6 →= 18 36 37 24 , 5 14 15 14 →= 18 36 37 27 , 5 14 15 25 →= 18 36 37 29 , 5 14 15 34 →= 18 36 37 31 , 15 14 15 6 →= 19 36 37 24 , 15 14 15 14 →= 19 36 37 27 , 15 14 15 25 →= 19 36 37 29 , 15 14 15 34 →= 19 36 37 31 , 25 28 17 20 →= 14 17 20 3 , 25 28 17 21 →= 14 17 20 8 , 25 28 17 37 →= 14 17 20 10 , 25 28 17 38 →= 14 17 20 12 , 29 28 17 20 →= 27 17 20 3 , 29 28 17 21 →= 27 17 20 8 , 29 28 17 37 →= 27 17 20 10 , 29 28 17 38 →= 27 17 20 12 , 30 28 17 20 →= 28 17 20 3 , 30 28 17 21 →= 28 17 20 8 , 30 28 17 37 →= 28 17 20 10 , 30 28 17 38 →= 28 17 20 12 , 25 28 19 36 →= 14 17 21 16 , 29 28 19 36 →= 27 17 21 16 , 30 28 19 36 →= 28 17 21 16 , 25 28 15 6 →= 14 17 37 24 , 25 28 15 14 →= 14 17 37 27 , 25 28 15 25 →= 14 17 37 29 , 25 28 15 34 →= 14 17 37 31 , 29 28 15 6 →= 27 17 37 24 , 29 28 15 14 →= 27 17 37 27 , 29 28 15 25 →= 27 17 37 29 , 29 28 15 34 →= 27 17 37 31 , 30 28 15 6 →= 28 17 37 24 , 30 28 15 14 →= 28 17 37 27 , 30 28 15 25 →= 28 17 37 29 , 30 28 15 34 →= 28 17 37 31 , 39 40 23 3 3 →= 39 40 22 5 6 7 , 39 40 23 3 8 →= 39 40 22 5 6 9 , 39 40 23 3 10 →= 39 40 22 5 6 11 , 39 40 23 3 12 →= 39 40 22 5 6 13 , 39 40 23 8 5 →= 39 40 22 5 14 15 , 39 40 23 8 16 →= 39 40 22 5 14 17 , 39 40 23 8 18 →= 39 40 22 5 14 19 , 10 31 35 41 →= 8 16 38 33 41 , 11 31 35 41 →= 9 16 38 33 41 , 37 31 35 41 →= 21 16 38 33 41 , 5 34 35 41 →= 18 36 38 33 41 , 15 34 35 41 →= 19 36 38 33 41 , 25 32 35 41 →= 14 17 38 33 41 , 29 32 35 41 →= 27 17 38 33 41 , 30 32 35 41 →= 28 17 38 33 41 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 10 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 5 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 10 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 6 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 16 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 10 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 7 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 5 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 5 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 5 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 10 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 9 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 11 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 9 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 10 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 10 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 8 ↦ 0, 16 ↦ 1, 20 ↦ 2, 3 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 9 ↦ 7, 10 ↦ 8, 11 ↦ 9, 21 ↦ 10, 14 ↦ 11, 15 ↦ 12, 17 ↦ 13, 18 ↦ 14, 19 ↦ 15, 24 ↦ 16, 25 ↦ 17, 26 ↦ 18, 27 ↦ 19, 28 ↦ 20, 29 ↦ 21, 30 ↦ 22, 36 ↦ 23, 37 ↦ 24 }, it remains to prove termination of the 200-rule system { 0 1 2 3 3 →= 3 0 4 5 6 , 0 1 2 3 0 →= 3 0 4 5 7 , 0 1 2 3 8 →= 3 0 4 5 9 , 7 1 2 3 3 →= 6 0 4 5 6 , 7 1 2 3 0 →= 6 0 4 5 7 , 7 1 2 3 8 →= 6 0 4 5 9 , 10 1 2 3 3 →= 2 0 4 5 6 , 10 1 2 3 0 →= 2 0 4 5 7 , 10 1 2 3 8 →= 2 0 4 5 9 , 0 1 2 0 4 →= 3 0 4 11 12 , 0 1 2 0 1 →= 3 0 4 11 13 , 0 1 2 0 14 →= 3 0 4 11 15 , 7 1 2 0 4 →= 6 0 4 11 12 , 7 1 2 0 1 →= 6 0 4 11 13 , 7 1 2 0 14 →= 6 0 4 11 15 , 10 1 2 0 4 →= 2 0 4 11 12 , 10 1 2 0 1 →= 2 0 4 11 13 , 10 1 2 0 14 →= 2 0 4 11 15 , 0 1 2 8 16 →= 3 0 4 17 18 , 0 1 2 8 19 →= 3 0 4 17 20 , 0 1 2 8 21 →= 3 0 4 17 22 , 7 1 2 8 16 →= 6 0 4 17 18 , 7 1 2 8 19 →= 6 0 4 17 20 , 7 1 2 8 21 →= 6 0 4 17 22 , 10 1 2 8 16 →= 2 0 4 17 18 , 10 1 2 8 19 →= 2 0 4 17 20 , 10 1 2 8 21 →= 2 0 4 17 22 , 14 23 2 3 3 →= 1 10 4 5 6 , 14 23 2 3 0 →= 1 10 4 5 7 , 14 23 2 3 8 →= 1 10 4 5 9 , 15 23 2 3 3 →= 13 10 4 5 6 , 15 23 2 3 0 →= 13 10 4 5 7 , 15 23 2 3 8 →= 13 10 4 5 9 , 14 23 2 0 4 →= 1 10 4 11 12 , 14 23 2 0 1 →= 1 10 4 11 13 , 14 23 2 0 14 →= 1 10 4 11 15 , 15 23 2 0 4 →= 13 10 4 11 12 , 15 23 2 0 1 →= 13 10 4 11 13 , 15 23 2 0 14 →= 13 10 4 11 15 , 14 23 2 8 16 →= 1 10 4 17 18 , 14 23 2 8 19 →= 1 10 4 17 20 , 14 23 2 8 21 →= 1 10 4 17 22 , 15 23 2 8 16 →= 13 10 4 17 18 , 15 23 2 8 19 →= 13 10 4 17 20 , 15 23 2 8 21 →= 13 10 4 17 22 , 11 13 2 3 3 →= 5 7 4 5 6 , 11 13 2 3 0 →= 5 7 4 5 7 , 11 13 2 3 8 →= 5 7 4 5 9 , 19 13 2 3 3 →= 16 7 4 5 6 , 19 13 2 3 0 →= 16 7 4 5 7 , 19 13 2 3 8 →= 16 7 4 5 9 , 20 13 2 3 3 →= 18 7 4 5 6 , 20 13 2 3 0 →= 18 7 4 5 7 , 20 13 2 3 8 →= 18 7 4 5 9 , 11 13 2 0 4 →= 5 7 4 11 12 , 11 13 2 0 1 →= 5 7 4 11 13 , 11 13 2 0 14 →= 5 7 4 11 15 , 19 13 2 0 4 →= 16 7 4 11 12 , 19 13 2 0 1 →= 16 7 4 11 13 , 19 13 2 0 14 →= 16 7 4 11 15 , 20 13 2 0 4 →= 18 7 4 11 12 , 20 13 2 0 1 →= 18 7 4 11 13 , 20 13 2 0 14 →= 18 7 4 11 15 , 11 13 2 8 16 →= 5 7 4 17 18 , 11 13 2 8 19 →= 5 7 4 17 20 , 11 13 2 8 21 →= 5 7 4 17 22 , 19 13 2 8 16 →= 16 7 4 17 18 , 19 13 2 8 19 →= 16 7 4 17 20 , 19 13 2 8 21 →= 16 7 4 17 22 , 20 13 2 8 16 →= 18 7 4 17 18 , 20 13 2 8 19 →= 18 7 4 17 20 , 20 13 2 8 21 →= 18 7 4 17 22 , 8 16 6 3 →= 3 8 16 6 , 8 16 6 0 →= 3 8 16 7 , 8 16 6 8 →= 3 8 16 9 , 9 16 6 3 →= 6 8 16 6 , 9 16 6 0 →= 6 8 16 7 , 9 16 6 8 →= 6 8 16 9 , 24 16 6 3 →= 2 8 16 6 , 24 16 6 0 →= 2 8 16 7 , 24 16 6 8 →= 2 8 16 9 , 8 16 7 4 →= 3 8 19 12 , 8 16 7 1 →= 3 8 19 13 , 8 16 7 14 →= 3 8 19 15 , 9 16 7 4 →= 6 8 19 12 , 9 16 7 1 →= 6 8 19 13 , 9 16 7 14 →= 6 8 19 15 , 24 16 7 4 →= 2 8 19 12 , 24 16 7 1 →= 2 8 19 13 , 24 16 7 14 →= 2 8 19 15 , 8 16 9 16 →= 3 8 21 18 , 8 16 9 19 →= 3 8 21 20 , 8 16 9 21 →= 3 8 21 22 , 9 16 9 16 →= 6 8 21 18 , 9 16 9 19 →= 6 8 21 20 , 9 16 9 21 →= 6 8 21 22 , 24 16 9 16 →= 2 8 21 18 , 24 16 9 19 →= 2 8 21 20 , 24 16 9 21 →= 2 8 21 22 , 4 5 6 3 →= 1 24 16 6 , 4 5 6 0 →= 1 24 16 7 , 4 5 6 8 →= 1 24 16 9 , 12 5 6 3 →= 13 24 16 6 , 12 5 6 0 →= 13 24 16 7 , 12 5 6 8 →= 13 24 16 9 , 4 5 7 4 →= 1 24 19 12 , 4 5 7 1 →= 1 24 19 13 , 4 5 7 14 →= 1 24 19 15 , 12 5 7 4 →= 13 24 19 12 , 12 5 7 1 →= 13 24 19 13 , 12 5 7 14 →= 13 24 19 15 , 4 5 9 16 →= 1 24 21 18 , 4 5 9 19 →= 1 24 21 20 , 4 5 9 21 →= 1 24 21 22 , 12 5 9 16 →= 13 24 21 18 , 12 5 9 19 →= 13 24 21 20 , 12 5 9 21 →= 13 24 21 22 , 17 18 6 3 →= 5 9 16 6 , 17 18 6 0 →= 5 9 16 7 , 17 18 6 8 →= 5 9 16 9 , 21 18 6 3 →= 16 9 16 6 , 21 18 6 0 →= 16 9 16 7 , 21 18 6 8 →= 16 9 16 9 , 22 18 6 3 →= 18 9 16 6 , 22 18 6 0 →= 18 9 16 7 , 22 18 6 8 →= 18 9 16 9 , 17 18 7 4 →= 5 9 19 12 , 17 18 7 1 →= 5 9 19 13 , 17 18 7 14 →= 5 9 19 15 , 21 18 7 4 →= 16 9 19 12 , 21 18 7 1 →= 16 9 19 13 , 21 18 7 14 →= 16 9 19 15 , 22 18 7 4 →= 18 9 19 12 , 22 18 7 1 →= 18 9 19 13 , 22 18 7 14 →= 18 9 19 15 , 17 18 9 16 →= 5 9 21 18 , 17 18 9 19 →= 5 9 21 20 , 17 18 9 21 →= 5 9 21 22 , 21 18 9 16 →= 16 9 21 18 , 21 18 9 19 →= 16 9 21 20 , 21 18 9 21 →= 16 9 21 22 , 22 18 9 16 →= 18 9 21 18 , 22 18 9 19 →= 18 9 21 20 , 22 18 9 21 →= 18 9 21 22 , 8 19 13 2 →= 0 1 2 3 , 8 19 13 10 →= 0 1 2 0 , 8 19 13 24 →= 0 1 2 8 , 9 19 13 2 →= 7 1 2 3 , 9 19 13 10 →= 7 1 2 0 , 9 19 13 24 →= 7 1 2 8 , 24 19 13 2 →= 10 1 2 3 , 24 19 13 10 →= 10 1 2 0 , 24 19 13 24 →= 10 1 2 8 , 8 19 15 23 →= 0 1 10 1 , 9 19 15 23 →= 7 1 10 1 , 24 19 15 23 →= 10 1 10 1 , 8 19 12 5 →= 0 1 24 16 , 8 19 12 11 →= 0 1 24 19 , 8 19 12 17 →= 0 1 24 21 , 9 19 12 5 →= 7 1 24 16 , 9 19 12 11 →= 7 1 24 19 , 9 19 12 17 →= 7 1 24 21 , 24 19 12 5 →= 10 1 24 16 , 24 19 12 11 →= 10 1 24 19 , 24 19 12 17 →= 10 1 24 21 , 4 11 13 2 →= 14 23 2 3 , 4 11 13 10 →= 14 23 2 0 , 4 11 13 24 →= 14 23 2 8 , 12 11 13 2 →= 15 23 2 3 , 12 11 13 10 →= 15 23 2 0 , 12 11 13 24 →= 15 23 2 8 , 4 11 15 23 →= 14 23 10 1 , 12 11 15 23 →= 15 23 10 1 , 4 11 12 5 →= 14 23 24 16 , 4 11 12 11 →= 14 23 24 19 , 4 11 12 17 →= 14 23 24 21 , 12 11 12 5 →= 15 23 24 16 , 12 11 12 11 →= 15 23 24 19 , 12 11 12 17 →= 15 23 24 21 , 17 20 13 2 →= 11 13 2 3 , 17 20 13 10 →= 11 13 2 0 , 17 20 13 24 →= 11 13 2 8 , 21 20 13 2 →= 19 13 2 3 , 21 20 13 10 →= 19 13 2 0 , 21 20 13 24 →= 19 13 2 8 , 22 20 13 2 →= 20 13 2 3 , 22 20 13 10 →= 20 13 2 0 , 22 20 13 24 →= 20 13 2 8 , 17 20 15 23 →= 11 13 10 1 , 21 20 15 23 →= 19 13 10 1 , 22 20 15 23 →= 20 13 10 1 , 17 20 12 5 →= 11 13 24 16 , 17 20 12 11 →= 11 13 24 19 , 17 20 12 17 →= 11 13 24 21 , 21 20 12 5 →= 19 13 24 16 , 21 20 12 11 →= 19 13 24 19 , 21 20 12 17 →= 19 13 24 21 , 22 20 12 5 →= 20 13 24 16 , 22 20 12 11 →= 20 13 24 19 , 22 20 12 17 →= 20 13 24 21 } The system is trivially terminating.