/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


YES

Problem 1: 

(VAR N V1 V2 X XS Y YS ZS)
(STRATEGY CONTEXTSENSITIVE
(U101 1)
(U102 1)
(U103 1)
(U104 1)
(U105 1)
(U106 1)
(U11 1)
(U111 1)
(U112 1)
(U12 1)
(U121 1)
(U122 1)
(U13 1)
(U131 1)
(U14 1)
(U141 1)
(U151 1)
(U161 1)
(U171 1)
(U172 1)
(U181 1)
(U182 1)
(U183 1)
(U191 1)
(U192 1)
(U193 1)
(U201 1)
(U202 1)
(U203 1)
(U204 1)
(U205 1)
(U206 1)
(U21 1)
(U211 1)
(U22 1)
(U221 1)
(U23 1)
(U231 1)
(U232 1)
(U24 1)
(U241 1)
(U242 1)
(U243 1)
(U244 1)
(U245 1)
(U246 1)
(U251 1)
(U252 1)
(U253 1)
(U254 1)
(U255 1)
(U256 1)
(U261 1)
(U262 1)
(U271 1)
(U272 1)
(U281 1)
(U282 1)
(U291 1)
(U292 1)
(U293 1)
(U294 1)
(U301 1)
(U302 1)
(U303 1)
(U304 1)
(U31 1)
(U311 1)
(U312 1)
(U32 1)
(U321 1)
(U322 1)
(U323 1)
(U324 1)
(U325 1)
(U326 1)
(U327 1)
(U33 1)
(U331 1)
(U332 1)
(U333 1)
(U334 1)
(U34 1)
(U341 1)
(U342 1)
(U343 1)
(U344 1)
(U41 1)
(U42 1)
(U43 1)
(U44 1)
(U45 1)
(U46 1)
(U51 1)
(U52 1)
(U53 1)
(U54 1)
(U55 1)
(U56 1)
(U61 1)
(U62 1)
(U63 1)
(U71 1)
(U72 1)
(U73 1)
(U81 1)
(U82 1)
(U83 1)
(U91 1)
(U92 1)
(U93 1)
(afterNth 1 2)
(fst 1)
(head 1)
(isLNat)
(isLNatKind)
(isNatural)
(isNaturalKind)
(isPLNat)
(isPLNatKind)
(natsFrom 1)
(sel 1 2)
(snd 1)
(splitAt 1 2)
(tail 1)
(take 1 2)
(0)
(cons 1)
(nil)
(pair 1 2)
(s 1)
(tt)
)
(RULES
U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
U106(tt) -> tt
U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
U112(tt) -> tt
U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
U122(tt) -> tt
U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
U131(tt) -> tt
U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
U141(tt) -> tt
U151(tt) -> tt
U161(tt) -> tt
U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
U172(tt) -> tt
U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
U183(tt) -> tt
U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
U193(tt) -> tt
U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
U206(tt) -> tt
U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
U211(tt) -> tt
U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
U221(tt) -> tt
U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
U232(tt) -> tt
U24(tt,X) -> X
U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
U246(tt) -> tt
U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
U256(tt) -> tt
U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
U262(tt) -> tt
U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
U272(tt) -> tt
U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
U304(tt,Y) -> Y
U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
U334(tt,XS) -> XS
U34(tt,N) -> N
U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
U46(tt) -> tt
U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
U56(tt) -> tt
U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
U63(tt) -> tt
U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
U73(tt) -> tt
U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
U83(tt) -> tt
U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
U93(tt) -> tt
afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
isLNat(nil) -> tt
isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
isLNatKind(nil) -> tt
isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
isNatural(0) -> tt
isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
isNaturalKind(0) -> tt
isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
)

Problem 1: 

Dependency Pairs Processor:
-> Pairs:
 U101#(tt,V1,V2) -> U102#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U101#(tt,V1,V2) -> ISNATURALKIND(V1)
 U102#(tt,V1,V2) -> U103#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U102#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U103#(tt,V1,V2) -> U104#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U104#(tt,V1,V2) -> U105#(isNatural(V1),V2)
 U104#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U105#(tt,V2) -> U106#(isLNat(V2))
 U105#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U11#(tt,N,XS) -> U12#(isNaturalKind(N),N,XS)
 U11#(tt,N,XS) -> ISNATURALKIND(N)
 U111#(tt,V2) -> U112#(isLNatKind(V2))
 U111#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U12#(tt,N,XS) -> U13#(isLNat(XS),N,XS)
 U12#(tt,N,XS) -> ISLNAT(XS)
 U121#(tt,V2) -> U122#(isLNatKind(V2))
 U121#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U13#(tt,N,XS) -> U14#(isLNatKind(XS),N,XS)
 U13#(tt,N,XS) -> ISLNATKIND(XS)
 U14#(tt,N,XS) -> SND(splitAt(N,XS))
 U14#(tt,N,XS) -> SPLITAT(N,XS)
 U14#(tt,N,XS) -> N
 U14#(tt,N,XS) -> XS
 U171#(tt,V2) -> U172#(isLNatKind(V2))
 U171#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U181#(tt,V1) -> U182#(isLNatKind(V1),V1)
 U181#(tt,V1) -> ISLNATKIND(V1)
 U182#(tt,V1) -> U183#(isLNat(V1))
 U182#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 U191#(tt,V1) -> U192#(isNaturalKind(V1),V1)
 U191#(tt,V1) -> ISNATURALKIND(V1)
 U192#(tt,V1) -> U193#(isNatural(V1))
 U192#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U201#(tt,V1,V2) -> U202#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U201#(tt,V1,V2) -> ISNATURALKIND(V1)
 U202#(tt,V1,V2) -> U203#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U202#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> U204#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> U205#(isNatural(V1),V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U205#(tt,V2) -> U206#(isLNat(V2))
 U205#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U21#(tt,X,Y) -> U22#(isLNatKind(X),X,Y)
 U21#(tt,X,Y) -> ISLNATKIND(X)
 U22#(tt,X,Y) -> U23#(isLNat(Y),X,Y)
 U22#(tt,X,Y) -> ISLNAT(Y)
 U23#(tt,X,Y) -> U24#(isLNatKind(Y),X)
 U23#(tt,X,Y) -> ISLNATKIND(Y)
 U231#(tt,V2) -> U232#(isLNatKind(V2))
 U231#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U24#(tt,X) -> X
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U241#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V1)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> U246#(isLNat(V2))
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> ISNATURALKIND(V1)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U255#(tt,V2) -> U256#(isLNat(V2))
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U261#(tt,V2) -> U262#(isLNatKind(V2))
 U261#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U271#(tt,V2) -> U272#(isLNatKind(V2))
 U271#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U281#(tt,N) -> U282#(isNaturalKind(N),N)
 U281#(tt,N) -> ISNATURALKIND(N)
 U282#(tt,N) -> N
 U291#(tt,N,XS) -> U292#(isNaturalKind(N),N,XS)
 U291#(tt,N,XS) -> ISNATURALKIND(N)
 U292#(tt,N,XS) -> U293#(isLNat(XS),N,XS)
 U292#(tt,N,XS) -> ISLNAT(XS)
 U293#(tt,N,XS) -> U294#(isLNatKind(XS),N,XS)
 U293#(tt,N,XS) -> ISLNATKIND(XS)
 U294#(tt,N,XS) -> AFTERNTH(N,XS)
 U294#(tt,N,XS) -> HEAD(afterNth(N,XS))
 U294#(tt,N,XS) -> N
 U294#(tt,N,XS) -> XS
 U301#(tt,X,Y) -> U302#(isLNatKind(X),Y)
 U301#(tt,X,Y) -> ISLNATKIND(X)
 U302#(tt,Y) -> U303#(isLNat(Y),Y)
 U302#(tt,Y) -> ISLNAT(Y)
 U303#(tt,Y) -> U304#(isLNatKind(Y),Y)
 U303#(tt,Y) -> ISLNATKIND(Y)
 U304#(tt,Y) -> Y
 U31#(tt,N,XS) -> U32#(isNaturalKind(N),N,XS)
 U31#(tt,N,XS) -> ISNATURALKIND(N)
 U311#(tt,XS) -> U312#(isLNatKind(XS),XS)
 U311#(tt,XS) -> ISLNATKIND(XS)
 U312#(tt,XS) -> XS
 U32#(tt,N,XS) -> U33#(isLNat(XS),N,XS)
 U32#(tt,N,XS) -> ISLNAT(XS)
 U321#(tt,N,X,XS) -> U322#(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U321#(tt,N,X,XS) -> ISNATURALKIND(N)
 U322#(tt,N,X,XS) -> U323#(isNatural(X),N,X,XS)
 U322#(tt,N,X,XS) -> ISNATURAL(X)
 U323#(tt,N,X,XS) -> U324#(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U323#(tt,N,X,XS) -> ISNATURALKIND(X)
 U324#(tt,N,X,XS) -> U325#(isLNat(XS),N,X,XS)
 U324#(tt,N,X,XS) -> ISLNAT(XS)
 U325#(tt,N,X,XS) -> U326#(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U325#(tt,N,X,XS) -> ISLNATKIND(XS)
 U326#(tt,N,X,XS) -> U327#(splitAt(N,XS),X)
 U326#(tt,N,X,XS) -> SPLITAT(N,XS)
 U326#(tt,N,X,XS) -> N
 U326#(tt,N,X,XS) -> XS
 U327#(pair(YS,ZS),X) -> X
 U33#(tt,N,XS) -> U34#(isLNatKind(XS),N)
 U33#(tt,N,XS) -> ISLNATKIND(XS)
 U331#(tt,N,XS) -> U332#(isNaturalKind(N),XS)
 U331#(tt,N,XS) -> ISNATURALKIND(N)
 U332#(tt,XS) -> U333#(isLNat(XS),XS)
 U332#(tt,XS) -> ISLNAT(XS)
 U333#(tt,XS) -> U334#(isLNatKind(XS),XS)
 U333#(tt,XS) -> ISLNATKIND(XS)
 U334#(tt,XS) -> XS
 U34#(tt,N) -> N
 U341#(tt,N,XS) -> U342#(isNaturalKind(N),N,XS)
 U341#(tt,N,XS) -> ISNATURALKIND(N)
 U342#(tt,N,XS) -> U343#(isLNat(XS),N,XS)
 U342#(tt,N,XS) -> ISLNAT(XS)
 U343#(tt,N,XS) -> U344#(isLNatKind(XS),N,XS)
 U343#(tt,N,XS) -> ISLNATKIND(XS)
 U344#(tt,N,XS) -> FST(splitAt(N,XS))
 U344#(tt,N,XS) -> SPLITAT(N,XS)
 U344#(tt,N,XS) -> N
 U344#(tt,N,XS) -> XS
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> ISNATURALKIND(V1)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U45#(tt,V2) -> U46#(isLNat(V2))
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> ISNATURALKIND(V1)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U55#(tt,V2) -> U56#(isLNat(V2))
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U61#(tt,V1) -> ISPLNATKIND(V1)
 U62#(tt,V1) -> U63#(isPLNat(V1))
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U71#(tt,V1) -> U72#(isNaturalKind(V1),V1)
 U71#(tt,V1) -> ISNATURALKIND(V1)
 U72#(tt,V1) -> U73#(isNatural(V1))
 U72#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U81#(tt,V1) -> ISPLNATKIND(V1)
 U82#(tt,V1) -> U83#(isPLNat(V1))
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U91#(tt,V1) -> ISLNATKIND(V1)
 U92#(tt,V1) -> U93#(isLNat(V1))
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 AFTERNTH(N,XS) -> U11#(isNatural(N),N,XS)
 AFTERNTH(N,XS) -> ISNATURAL(N)
 FST(pair(X,Y)) -> U21#(isLNat(X),X,Y)
 FST(pair(X,Y)) -> ISLNAT(X)
 HEAD(cons(N,XS)) -> U31#(isNatural(N),N,XS)
 HEAD(cons(N,XS)) -> ISNATURAL(N)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(fst(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> U71#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISLNAT(take(V1,V2)) -> U101#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(take(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> U111#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(fst(V1)) -> U131#(isPLNatKind(V1))
 ISLNATKIND(fst(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(natsFrom(V1)) -> U141#(isNaturalKind(V1))
 ISLNATKIND(natsFrom(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(snd(V1)) -> U151#(isPLNatKind(V1))
 ISLNATKIND(snd(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(tail(V1)) -> U161#(isLNatKind(V1))
 ISLNATKIND(tail(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> U171#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> U121#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURAL(head(V1)) -> U181#(isLNatKind(V1),V1)
 ISNATURAL(head(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> U201#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURAL(s(V1)) -> U191#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISNATURAL(s(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(head(V1)) -> U211#(isLNatKind(V1))
 ISNATURALKIND(head(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> U231#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(s(V1)) -> U221#(isNaturalKind(V1))
 ISNATURALKIND(s(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> U271#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> U261#(isLNatKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> ISLNATKIND(V1)
 NATSFROM(N) -> U281#(isNatural(N),N)
 NATSFROM(N) -> ISNATURAL(N)
 SEL(N,XS) -> U291#(isNatural(N),N,XS)
 SEL(N,XS) -> ISNATURAL(N)
 SND(pair(X,Y)) -> U301#(isLNat(X),X,Y)
 SND(pair(X,Y)) -> ISLNAT(X)
 SPLITAT(0,XS) -> U311#(isLNat(XS),XS)
 SPLITAT(0,XS) -> ISLNAT(XS)
 SPLITAT(s(N),cons(X,XS)) -> U321#(isNatural(N),N,X,XS)
 SPLITAT(s(N),cons(X,XS)) -> ISNATURAL(N)
 TAIL(cons(N,XS)) -> U331#(isNatural(N),N,XS)
 TAIL(cons(N,XS)) -> ISNATURAL(N)
 TAKE(N,XS) -> U341#(isNatural(N),N,XS)
 TAKE(N,XS) -> ISNATURAL(N)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding Rules:
 natsFrom(s(N)) -> NATSFROM(s(N))

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U101#(tt,V1,V2) -> U102#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U101#(tt,V1,V2) -> ISNATURALKIND(V1)
 U102#(tt,V1,V2) -> U103#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U102#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U103#(tt,V1,V2) -> U104#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U104#(tt,V1,V2) -> U105#(isNatural(V1),V2)
 U104#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U105#(tt,V2) -> U106#(isLNat(V2))
 U105#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U11#(tt,N,XS) -> U12#(isNaturalKind(N),N,XS)
 U11#(tt,N,XS) -> ISNATURALKIND(N)
 U111#(tt,V2) -> U112#(isLNatKind(V2))
 U111#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U12#(tt,N,XS) -> U13#(isLNat(XS),N,XS)
 U12#(tt,N,XS) -> ISLNAT(XS)
 U121#(tt,V2) -> U122#(isLNatKind(V2))
 U121#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U13#(tt,N,XS) -> U14#(isLNatKind(XS),N,XS)
 U13#(tt,N,XS) -> ISLNATKIND(XS)
 U14#(tt,N,XS) -> SND(splitAt(N,XS))
 U14#(tt,N,XS) -> SPLITAT(N,XS)
 U14#(tt,N,XS) -> N
 U14#(tt,N,XS) -> XS
 U171#(tt,V2) -> U172#(isLNatKind(V2))
 U171#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U181#(tt,V1) -> U182#(isLNatKind(V1),V1)
 U181#(tt,V1) -> ISLNATKIND(V1)
 U182#(tt,V1) -> U183#(isLNat(V1))
 U182#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 U191#(tt,V1) -> U192#(isNaturalKind(V1),V1)
 U191#(tt,V1) -> ISNATURALKIND(V1)
 U192#(tt,V1) -> U193#(isNatural(V1))
 U192#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U201#(tt,V1,V2) -> U202#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U201#(tt,V1,V2) -> ISNATURALKIND(V1)
 U202#(tt,V1,V2) -> U203#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U202#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> U204#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> U205#(isNatural(V1),V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U205#(tt,V2) -> U206#(isLNat(V2))
 U205#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U21#(tt,X,Y) -> U22#(isLNatKind(X),X,Y)
 U21#(tt,X,Y) -> ISLNATKIND(X)
 U22#(tt,X,Y) -> U23#(isLNat(Y),X,Y)
 U22#(tt,X,Y) -> ISLNAT(Y)
 U23#(tt,X,Y) -> U24#(isLNatKind(Y),X)
 U23#(tt,X,Y) -> ISLNATKIND(Y)
 U231#(tt,V2) -> U232#(isLNatKind(V2))
 U231#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U24#(tt,X) -> X
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U241#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V1)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> U246#(isLNat(V2))
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> ISNATURALKIND(V1)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U255#(tt,V2) -> U256#(isLNat(V2))
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U261#(tt,V2) -> U262#(isLNatKind(V2))
 U261#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U271#(tt,V2) -> U272#(isLNatKind(V2))
 U271#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U281#(tt,N) -> U282#(isNaturalKind(N),N)
 U281#(tt,N) -> ISNATURALKIND(N)
 U282#(tt,N) -> N
 U291#(tt,N,XS) -> U292#(isNaturalKind(N),N,XS)
 U291#(tt,N,XS) -> ISNATURALKIND(N)
 U292#(tt,N,XS) -> U293#(isLNat(XS),N,XS)
 U292#(tt,N,XS) -> ISLNAT(XS)
 U293#(tt,N,XS) -> U294#(isLNatKind(XS),N,XS)
 U293#(tt,N,XS) -> ISLNATKIND(XS)
 U294#(tt,N,XS) -> AFTERNTH(N,XS)
 U294#(tt,N,XS) -> HEAD(afterNth(N,XS))
 U294#(tt,N,XS) -> N
 U294#(tt,N,XS) -> XS
 U301#(tt,X,Y) -> U302#(isLNatKind(X),Y)
 U301#(tt,X,Y) -> ISLNATKIND(X)
 U302#(tt,Y) -> U303#(isLNat(Y),Y)
 U302#(tt,Y) -> ISLNAT(Y)
 U303#(tt,Y) -> U304#(isLNatKind(Y),Y)
 U303#(tt,Y) -> ISLNATKIND(Y)
 U304#(tt,Y) -> Y
 U31#(tt,N,XS) -> U32#(isNaturalKind(N),N,XS)
 U31#(tt,N,XS) -> ISNATURALKIND(N)
 U311#(tt,XS) -> U312#(isLNatKind(XS),XS)
 U311#(tt,XS) -> ISLNATKIND(XS)
 U312#(tt,XS) -> XS
 U32#(tt,N,XS) -> U33#(isLNat(XS),N,XS)
 U32#(tt,N,XS) -> ISLNAT(XS)
 U321#(tt,N,X,XS) -> U322#(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U321#(tt,N,X,XS) -> ISNATURALKIND(N)
 U322#(tt,N,X,XS) -> U323#(isNatural(X),N,X,XS)
 U322#(tt,N,X,XS) -> ISNATURAL(X)
 U323#(tt,N,X,XS) -> U324#(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U323#(tt,N,X,XS) -> ISNATURALKIND(X)
 U324#(tt,N,X,XS) -> U325#(isLNat(XS),N,X,XS)
 U324#(tt,N,X,XS) -> ISLNAT(XS)
 U325#(tt,N,X,XS) -> U326#(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U325#(tt,N,X,XS) -> ISLNATKIND(XS)
 U326#(tt,N,X,XS) -> U327#(splitAt(N,XS),X)
 U326#(tt,N,X,XS) -> SPLITAT(N,XS)
 U326#(tt,N,X,XS) -> N
 U326#(tt,N,X,XS) -> XS
 U327#(pair(YS,ZS),X) -> X
 U33#(tt,N,XS) -> U34#(isLNatKind(XS),N)
 U33#(tt,N,XS) -> ISLNATKIND(XS)
 U331#(tt,N,XS) -> U332#(isNaturalKind(N),XS)
 U331#(tt,N,XS) -> ISNATURALKIND(N)
 U332#(tt,XS) -> U333#(isLNat(XS),XS)
 U332#(tt,XS) -> ISLNAT(XS)
 U333#(tt,XS) -> U334#(isLNatKind(XS),XS)
 U333#(tt,XS) -> ISLNATKIND(XS)
 U334#(tt,XS) -> XS
 U34#(tt,N) -> N
 U341#(tt,N,XS) -> U342#(isNaturalKind(N),N,XS)
 U341#(tt,N,XS) -> ISNATURALKIND(N)
 U342#(tt,N,XS) -> U343#(isLNat(XS),N,XS)
 U342#(tt,N,XS) -> ISLNAT(XS)
 U343#(tt,N,XS) -> U344#(isLNatKind(XS),N,XS)
 U343#(tt,N,XS) -> ISLNATKIND(XS)
 U344#(tt,N,XS) -> FST(splitAt(N,XS))
 U344#(tt,N,XS) -> SPLITAT(N,XS)
 U344#(tt,N,XS) -> N
 U344#(tt,N,XS) -> XS
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> ISNATURALKIND(V1)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U45#(tt,V2) -> U46#(isLNat(V2))
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> ISNATURALKIND(V1)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U55#(tt,V2) -> U56#(isLNat(V2))
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U61#(tt,V1) -> ISPLNATKIND(V1)
 U62#(tt,V1) -> U63#(isPLNat(V1))
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U71#(tt,V1) -> U72#(isNaturalKind(V1),V1)
 U71#(tt,V1) -> ISNATURALKIND(V1)
 U72#(tt,V1) -> U73#(isNatural(V1))
 U72#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U81#(tt,V1) -> ISPLNATKIND(V1)
 U82#(tt,V1) -> U83#(isPLNat(V1))
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U91#(tt,V1) -> ISLNATKIND(V1)
 U92#(tt,V1) -> U93#(isLNat(V1))
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 AFTERNTH(N,XS) -> U11#(isNatural(N),N,XS)
 AFTERNTH(N,XS) -> ISNATURAL(N)
 FST(pair(X,Y)) -> U21#(isLNat(X),X,Y)
 FST(pair(X,Y)) -> ISLNAT(X)
 HEAD(cons(N,XS)) -> U31#(isNatural(N),N,XS)
 HEAD(cons(N,XS)) -> ISNATURAL(N)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(fst(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> U71#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISLNAT(take(V1,V2)) -> U101#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(take(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> U111#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(fst(V1)) -> U131#(isPLNatKind(V1))
 ISLNATKIND(fst(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(natsFrom(V1)) -> U141#(isNaturalKind(V1))
 ISLNATKIND(natsFrom(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(snd(V1)) -> U151#(isPLNatKind(V1))
 ISLNATKIND(snd(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(tail(V1)) -> U161#(isLNatKind(V1))
 ISLNATKIND(tail(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> U171#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> U121#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURAL(head(V1)) -> U181#(isLNatKind(V1),V1)
 ISNATURAL(head(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> U201#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURAL(s(V1)) -> U191#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISNATURAL(s(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(head(V1)) -> U211#(isLNatKind(V1))
 ISNATURALKIND(head(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> U231#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(s(V1)) -> U221#(isNaturalKind(V1))
 ISNATURALKIND(s(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> U271#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> U261#(isLNatKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> ISLNATKIND(V1)
 NATSFROM(N) -> U281#(isNatural(N),N)
 NATSFROM(N) -> ISNATURAL(N)
 SEL(N,XS) -> U291#(isNatural(N),N,XS)
 SEL(N,XS) -> ISNATURAL(N)
 SND(pair(X,Y)) -> U301#(isLNat(X),X,Y)
 SND(pair(X,Y)) -> ISLNAT(X)
 SPLITAT(0,XS) -> U311#(isLNat(XS),XS)
 SPLITAT(0,XS) -> ISLNAT(XS)
 SPLITAT(s(N),cons(X,XS)) -> U321#(isNatural(N),N,X,XS)
 SPLITAT(s(N),cons(X,XS)) -> ISNATURAL(N)
 TAIL(cons(N,XS)) -> U331#(isNatural(N),N,XS)
 TAIL(cons(N,XS)) -> ISNATURAL(N)
 TAKE(N,XS) -> U341#(isNatural(N),N,XS)
 TAKE(N,XS) -> ISNATURAL(N)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 natsFrom(s(N)) -> NATSFROM(s(N))
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 U111#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U121#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U171#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U231#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U261#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U271#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> U111#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(fst(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(natsFrom(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(snd(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(tail(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> U171#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> U121#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(head(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> U231#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(s(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> U271#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> U261#(isLNatKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> ISLNATKIND(V1)
->->-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
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 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
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 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
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 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
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 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
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 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
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 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
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 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
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 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
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 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
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 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
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 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
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 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
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 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
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 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
->->-> Unhiding rules:
 Empty
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 U101#(tt,V1,V2) -> U102#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102#(tt,V1,V2) -> U103#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103#(tt,V1,V2) -> U104#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104#(tt,V1,V2) -> U105#(isNatural(V1),V2)
 U104#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U105#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U181#(tt,V1) -> U182#(isLNatKind(V1),V1)
 U182#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 U191#(tt,V1) -> U192#(isNaturalKind(V1),V1)
 U192#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U201#(tt,V1,V2) -> U202#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202#(tt,V1,V2) -> U203#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> U204#(isLNatKind(V2),V1,V2)
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 U204#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
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 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
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 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
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 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U71#(tt,V1) -> U72#(isNaturalKind(V1),V1)
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->->-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
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 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
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 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
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 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
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->->-> Unhiding rules:
 Empty
->->Cycle:
->->-> Pairs:
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 U282#(tt,N) -> N
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->->-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
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->->-> Unhiding rules:
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->->Cycle:
->->-> Pairs:
 U321#(tt,N,X,XS) -> U322#(isNaturalKind(N),N,X,XS)
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 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
->->-> Unhiding rules:
 Empty


The problem is decomposed in 4 subproblems.

Problem 1.1: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 U111#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U121#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U171#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U231#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U261#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U271#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> U111#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(fst(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(natsFrom(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(snd(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(tail(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> U171#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> U121#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(head(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> U231#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(s(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> U271#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> U261#(isLNatKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> ISLNATKIND(V1)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
-> Usable rules:
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U131(tt) -> tt
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U211(tt) -> tt
 U221(tt) -> tt
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[U111](X1,X2) = 2.X1
[U112](X) = 2
[U121](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2
[U122](X) = 2
[U131](X) = 2.X
[U141](X) = X
[U151](X) = 2.X + 2
[U161](X) = 2.X
[U171](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U172](X) = 2
[U211](X) = 2.X + 2
[U221](X) = 2.X + 2
[U231](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U232](X) = X + 2
[U261](X1,X2) = 2
[U262](X) = 2
[U271](X1,X2) = 2
[U272](X) = 2
[afterNth](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 1
[fst](X) = X + 1
[head](X) = 2.X + 2
[isLNatKind](X) = 2.X + 2
[isNaturalKind](X) = 2.X + 2
[isPLNatKind](X) = 2
[natsFrom](X) = 2.X
[sel](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2
[snd](X) = X + 2
[splitAt](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[tail](X) = 2.X + 2
[take](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[0] = 2
[cons](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[nil] = 2
[pair](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[s](X) = 2.X + 2
[tt] = 2
[U111#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2
[U121#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U171#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U231#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U261#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 1
[U271#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[ISLNATKIND](X) = 2.X + 2
[ISNATURALKIND](X) = 2.X
[ISPLNATKIND](X) = 2.X + 2

Problem 1.1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U121#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U171#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U231#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U261#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U271#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> U111#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(fst(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(natsFrom(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(snd(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(tail(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> U171#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> U121#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(head(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> U231#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(s(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> U271#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> U261#(isLNatKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> ISLNATKIND(V1)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 U121#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U171#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U231#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U261#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U271#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(fst(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(natsFrom(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(snd(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(tail(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> U171#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> U121#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(head(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> U231#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(s(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> U271#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> U261#(isLNatKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> ISLNATKIND(V1)
->->-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
->->-> Unhiding rules:
 Empty

Problem 1.1: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 U121#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U171#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U231#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U261#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U271#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(fst(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(natsFrom(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(snd(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(tail(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> U171#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> U121#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(head(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> U231#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(s(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> U271#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> U261#(isLNatKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> ISLNATKIND(V1)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
-> Usable rules:
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U131(tt) -> tt
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U211(tt) -> tt
 U221(tt) -> tt
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[U111](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U112](X) = X + 2
[U121](X1,X2) = 2.X1
[U122](X) = 2
[U131](X) = X + 2
[U141](X) = X + 1
[U151](X) = 2
[U161](X) = 2
[U171](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U172](X) = 2
[U211](X) = 2
[U221](X) = 2
[U231](X1,X2) = X1
[U232](X) = 2
[U261](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U262](X) = X + 2
[U271](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U272](X) = X + 2
[afterNth](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[fst](X) = X + 2
[head](X) = 2.X + 1
[isLNatKind](X) = 2.X
[isNaturalKind](X) = 2
[isPLNatKind](X) = X + 2
[natsFrom](X) = X + 2
[sel](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2
[snd](X) = X + 1
[splitAt](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[tail](X) = 2.X + 2
[take](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2
[0] = 2
[cons](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[nil] = 1
[pair](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[s](X) = X
[tt] = 2
[U121#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U171#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2
[U231#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U261#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U271#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[ISLNATKIND](X) = 2.X + 2
[ISNATURALKIND](X) = 2.X + 2
[ISPLNATKIND](X) = 2.X + 2

Problem 1.1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U171#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U231#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U261#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U271#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(fst(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(natsFrom(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(snd(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(tail(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> U171#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> U121#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(head(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> U231#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(s(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> U271#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> U261#(isLNatKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> ISLNATKIND(V1)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 U171#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U231#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U261#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U271#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(fst(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(natsFrom(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(snd(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(tail(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> U171#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(head(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> U231#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(s(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> U271#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> U261#(isLNatKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> ISLNATKIND(V1)
->->-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
->->-> Unhiding rules:
 Empty

Problem 1.1: 

SubNColl Processor:
-> Pairs:
 U171#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U231#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U261#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U271#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 ISLNATKIND(afterNth(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(fst(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(natsFrom(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(snd(V1)) -> ISPLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(tail(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> U171#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISLNATKIND(take(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISLNATKIND(cons(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(head(V1)) -> ISLNATKIND(V1)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> U231#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISNATURALKIND(sel(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISNATURALKIND(s(V1)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> U271#(isNaturalKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(splitAt(V1,V2)) -> ISNATURALKIND(V1)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> U261#(isLNatKind(V1),V2)
 ISPLNATKIND(pair(V1,V2)) -> ISLNATKIND(V1)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
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 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
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 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Projection:
 pi(U171#) = 2
 pi(U231#) = 2
 pi(U261#) = 2
 pi(U271#) = 2
 pi(ISLNATKIND) = 1
 pi(ISNATURALKIND) = 1
 pi(ISPLNATKIND) = 1

Problem 1.1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U171#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U231#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U261#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
 U271#(tt,V2) -> ISLNATKIND(V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.2: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 U101#(tt,V1,V2) -> U102#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102#(tt,V1,V2) -> U103#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103#(tt,V1,V2) -> U104#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104#(tt,V1,V2) -> U105#(isNatural(V1),V2)
 U104#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U105#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U181#(tt,V1) -> U182#(isLNatKind(V1),V1)
 U182#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 U191#(tt,V1) -> U192#(isNaturalKind(V1),V1)
 U192#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U201#(tt,V1,V2) -> U202#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202#(tt,V1,V2) -> U203#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> U204#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> U205#(isNatural(V1),V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U205#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U71#(tt,V1) -> U72#(isNaturalKind(V1),V1)
 U72#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> U71#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(take(V1,V2)) -> U101#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(head(V1)) -> U181#(isLNatKind(V1),V1)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> U201#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(s(V1)) -> U191#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
-> Usable rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U131(tt) -> tt
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U211(tt) -> tt
 U221(tt) -> tt
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[U101](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U102](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U103](X1,X2,X3) = X1 + X3 + 2
[U104](X1,X2,X3) = X1 + 2
[U105](X1,X2) = 2
[U106](X) = 2
[U111](X1,X2) = X1 + 2
[U112](X) = 2
[U121](X1,X2) = X1 + X2 + 2
[U122](X) = X + 2
[U131](X) = 2
[U141](X) = X + 2
[U151](X) = X + 2
[U161](X) = X + 2
[U171](X1,X2) = X1 + X2 + 2
[U172](X) = X + 2
[U181](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2
[U182](X1,X2) = X1 + 2
[U183](X) = 2
[U191](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U192](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U193](X) = 2
[U201](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U202](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U203](X1,X2,X3) = X1 + X3 + 2
[U204](X1,X2,X3) = X1 + 2
[U205](X1,X2) = 2
[U206](X) = 2
[U211](X) = X + 2
[U221](X) = 2.X + 1
[U231](X1,X2) = X1 + 2
[U232](X) = 2
[U241](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U242](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U243](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2
[U244](X1,X2,X3) = 2
[U245](X1,X2) = 2
[U246](X) = 2
[U251](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U252](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U253](X1,X2,X3) = 2.X3 + 2
[U254](X1,X2,X3) = 2.X1
[U255](X1,X2) = 2
[U256](X) = 2
[U261](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U262](X) = 2
[U271](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U272](X) = 2
[U41](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U42](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U43](X1,X2,X3) = X1 + X3 + 2
[U44](X1,X2,X3) = X1 + 2
[U45](X1,X2) = 2
[U46](X) = 2
[U51](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 1
[U52](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U53](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U54](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2
[U55](X1,X2) = X1 + 2
[U56](X) = 2
[U61](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U62](X1,X2) = X1 + 2
[U63](X) = 2
[U71](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U72](X1,X2) = 2
[U73](X) = 2
[U81](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U82](X1,X2) = X1 + 2
[U83](X) = 2
[U91](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2
[U92](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U93](X) = X
[afterNth](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[fst](X) = 2.X + 2
[head](X) = 2.X + 2
[isLNat](X) = 2.X + 2
[isLNatKind](X) = X + 1
[isNatural](X) = 2.X + 2
[isNaturalKind](X) = X + 1
[isPLNat](X) = 2.X + 2
[isPLNatKind](X) = 2.X + 1
[natsFrom](X) = 2.X + 2
[sel](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[snd](X) = 2.X + 2
[splitAt](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[tail](X) = 2.X + 2
[take](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2
[0] = 2
[cons](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[nil] = 1
[pair](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[s](X) = 2.X + 2
[tt] = 2
[U101#](X1,X2,X3) = X1 + X2 + X3 + 1
[U102#](X1,X2,X3) = X2 + X3 + 2
[U103#](X1,X2,X3) = X2 + X3 + 2
[U104#](X1,X2,X3) = X2 + X3 + 2
[U105#](X1,X2) = X2 + 2
[U181#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U182#](X1,X2) = X1 + X2 + 1
[U191#](X1,X2) = 2.X2 + 1
[U192#](X1,X2) = X1 + X2
[U201#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U202#](X1,X2,X3) = X1 + X2 + 2.X3 + 1
[U203#](X1,X2,X3) = X1 + X2 + X3 + 2
[U204#](X1,X2,X3) = X2 + X3 + 2
[U205#](X1,X2) = X2 + 2
[U241#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U242#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U243#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U244#](X1,X2,X3) = X2 + 2.X3 + 2
[U245#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U251#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U252#](X1,X2,X3) = X1 + X2 + 2.X3 + 2
[U253#](X1,X2,X3) = X1 + X2 + X3 + 2
[U254#](X1,X2,X3) = X2 + X3 + 2
[U255#](X1,X2) = X2 + 2
[U41#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U42#](X1,X2,X3) = X1 + X2 + 2.X3 + 1
[U43#](X1,X2,X3) = X1 + X2 + X3 + 2
[U44#](X1,X2,X3) = X2 + X3 + 2
[U45#](X1,X2) = X2 + 2
[U51#](X1,X2,X3) = X1 + X2 + 2.X3
[U52#](X1,X2,X3) = X2 + 2.X3 + 2
[U53#](X1,X2,X3) = X2 + 2.X3 + 2
[U54#](X1,X2,X3) = X2 + 2.X3 + 2
[U55#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U61#](X1,X2) = 2.X2
[U62#](X1,X2) = 2.X2
[U71#](X1,X2) = X1 + X2 + 2
[U72#](X1,X2) = X2 + 2
[U81#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U82#](X1,X2) = 2.X2 + 1
[U91#](X1,X2) = X1 + X2 + 2
[U92#](X1,X2) = X2 + 2
[ISLNAT](X) = X + 2
[ISNATURAL](X) = X + 2
[ISPLNAT](X) = 2.X

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U102#(tt,V1,V2) -> U103#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103#(tt,V1,V2) -> U104#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104#(tt,V1,V2) -> U105#(isNatural(V1),V2)
 U104#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U105#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U181#(tt,V1) -> U182#(isLNatKind(V1),V1)
 U182#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 U191#(tt,V1) -> U192#(isNaturalKind(V1),V1)
 U192#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U201#(tt,V1,V2) -> U202#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202#(tt,V1,V2) -> U203#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> U204#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> U205#(isNatural(V1),V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U205#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U71#(tt,V1) -> U72#(isNaturalKind(V1),V1)
 U72#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> U71#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(take(V1,V2)) -> U101#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(head(V1)) -> U181#(isLNatKind(V1),V1)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> U201#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(s(V1)) -> U191#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
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 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
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 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
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 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
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 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
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 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
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 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
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 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
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 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 U181#(tt,V1) -> U182#(isLNatKind(V1),V1)
 U182#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 U191#(tt,V1) -> U192#(isNaturalKind(V1),V1)
 U192#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U201#(tt,V1,V2) -> U202#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202#(tt,V1,V2) -> U203#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> U204#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> U205#(isNatural(V1),V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U205#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U71#(tt,V1) -> U72#(isNaturalKind(V1),V1)
 U72#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> U71#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(head(V1)) -> U181#(isLNatKind(V1),V1)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> U201#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(s(V1)) -> U191#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
->->-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
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 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
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 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
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 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
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 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
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 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
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 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
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 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
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 U272(tt) -> tt
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 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
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 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
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 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
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 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
->->-> Unhiding rules:
 Empty

Problem 1.2: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 U181#(tt,V1) -> U182#(isLNatKind(V1),V1)
 U182#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 U191#(tt,V1) -> U192#(isNaturalKind(V1),V1)
 U192#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U201#(tt,V1,V2) -> U202#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202#(tt,V1,V2) -> U203#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> U204#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> U205#(isNatural(V1),V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U205#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U71#(tt,V1) -> U72#(isNaturalKind(V1),V1)
 U72#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> U71#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(head(V1)) -> U181#(isLNatKind(V1),V1)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> U201#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(s(V1)) -> U191#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
-> Usable rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U131(tt) -> tt
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U211(tt) -> tt
 U221(tt) -> tt
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[U101](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U102](X1,X2,X3) = 2.X3 + 2
[U103](X1,X2,X3) = 2.X3 + 2
[U104](X1,X2,X3) = X1 + 2
[U105](X1,X2) = 2
[U106](X) = 2
[U111](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2
[U112](X) = X + 1
[U121](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U122](X) = 2
[U131](X) = 2.X + 1
[U141](X) = X + 1
[U151](X) = X + 2
[U161](X) = 2.X + 2
[U171](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2
[U172](X) = X + 2
[U181](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U182](X1,X2) = X1 + 1
[U183](X) = 2
[U191](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U192](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U193](X) = X
[U201](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U202](X1,X2,X3) = 2.X3 + 2
[U203](X1,X2,X3) = X1
[U204](X1,X2,X3) = 2
[U205](X1,X2) = 2
[U206](X) = 2
[U211](X) = X
[U221](X) = 2
[U231](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U232](X) = X + 2
[U241](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3
[U242](X1,X2,X3) = 2.X3 + 2
[U243](X1,X2,X3) = X1 + 2
[U244](X1,X2,X3) = 2
[U245](X1,X2) = 2
[U246](X) = 2
[U251](X1,X2,X3) = X1 + 2.X3 + 2
[U252](X1,X2,X3) = 2.X3 + 2
[U253](X1,X2,X3) = X1 + 2
[U254](X1,X2,X3) = 2
[U255](X1,X2) = 2
[U256](X) = 2
[U261](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U262](X) = 2
[U271](X1,X2) = 2
[U272](X) = 2
[U41](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 1
[U42](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U43](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U44](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2
[U45](X1,X2) = X1 + 2
[U46](X) = 2
[U51](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U52](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U53](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U54](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U55](X1,X2) = X1 + 2.X2
[U56](X) = X
[U61](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U62](X1,X2) = 2
[U63](X) = 2
[U71](X1,X2) = X1 + 2.X2
[U72](X1,X2) = X1
[U73](X) = 2
[U81](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U82](X1,X2) = 2
[U83](X) = 2
[U91](X1,X2) = X1 + 2.X2
[U92](X1,X2) = X1 + 1
[U93](X) = 2
[afterNth](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2
[fst](X) = 2.X + 2
[head](X) = 2.X + 2
[isLNat](X) = 2.X + 2
[isLNatKind](X) = 2.X
[isNatural](X) = 2.X + 2
[isNaturalKind](X) = 2.X + 2
[isPLNat](X) = 2.X + 2
[isPLNatKind](X) = 2.X + 1
[natsFrom](X) = 2.X + 2
[sel](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[snd](X) = 2.X + 2
[splitAt](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 1
[tail](X) = 2.X + 1
[take](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[0] = 0
[cons](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[nil] = 2
[pair](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[s](X) = X
[tt] = 2
[U181#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U182#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U191#](X1,X2) = 2.X2 + 1
[U192#](X1,X2) = 2.X2 + 1
[U201#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U202#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U203#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U204#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U205#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U241#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U242#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U243#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U244#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U245#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U251#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U252#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U253#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U254#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U255#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U41#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U42#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U43#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U44#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U45#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U51#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U52#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U53#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U54#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U55#](X1,X2) = X1 + 2.X2
[U61#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U62#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U71#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U72#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U81#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 1
[U82#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U91#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U92#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[ISLNAT](X) = 2.X + 2
[ISNATURAL](X) = 2.X + 1
[ISPLNAT](X) = 2.X + 2

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U182#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 U191#(tt,V1) -> U192#(isNaturalKind(V1),V1)
 U192#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U201#(tt,V1,V2) -> U202#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202#(tt,V1,V2) -> U203#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> U204#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> U205#(isNatural(V1),V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U205#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U71#(tt,V1) -> U72#(isNaturalKind(V1),V1)
 U72#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> U71#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(head(V1)) -> U181#(isLNatKind(V1),V1)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> U201#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(s(V1)) -> U191#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 U191#(tt,V1) -> U192#(isNaturalKind(V1),V1)
 U192#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U201#(tt,V1,V2) -> U202#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202#(tt,V1,V2) -> U203#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> U204#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> U205#(isNatural(V1),V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U205#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U71#(tt,V1) -> U72#(isNaturalKind(V1),V1)
 U72#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> U71#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> U201#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(s(V1)) -> U191#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
->->-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
->->-> Unhiding rules:
 Empty

Problem 1.2: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 U191#(tt,V1) -> U192#(isNaturalKind(V1),V1)
 U192#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U201#(tt,V1,V2) -> U202#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202#(tt,V1,V2) -> U203#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> U204#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> U205#(isNatural(V1),V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U205#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U71#(tt,V1) -> U72#(isNaturalKind(V1),V1)
 U72#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> U71#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> U201#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(s(V1)) -> U191#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
-> Usable rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U131(tt) -> tt
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 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
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 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
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 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
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 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 U56(tt) -> tt
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 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
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 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
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 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
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 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
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 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[U101](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U102](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U103](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2
[U104](X1,X2,X3) = 2
[U105](X1,X2) = 2
[U106](X) = 2
[U111](X1,X2) = 2.X2 + 1
[U112](X) = X
[U121](X1,X2) = 2.X2 + 2
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[U131](X) = X + 2
[U141](X) = 2
[U151](X) = X + 2
[U161](X) = 2.X + 1
[U171](X1,X2) = X1 + X2
[U172](X) = X
[U181](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U182](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U183](X) = 2
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[U192](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U193](X) = X + 2
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[U205](X1,X2) = 2
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[U242](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U243](X1,X2,X3) = 2.X3 + 2
[U244](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2
[U245](X1,X2) = 2
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[U252](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
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[U255](X1,X2) = X1
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[U46](X) = X
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[U55](X1,X2) = X1 + 2
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[U92](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U93](X) = 2
[afterNth](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[fst](X) = 2.X + 2
[head](X) = 2.X + 2
[isLNat](X) = 2.X + 2
[isLNatKind](X) = X
[isNatural](X) = 2.X + 2
[isNaturalKind](X) = 2
[isPLNat](X) = 2.X + 2
[isPLNatKind](X) = 2.X
[natsFrom](X) = 2.X + 2
[sel](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2
[snd](X) = 2.X + 2
[splitAt](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[tail](X) = 2.X + 2
[take](X1,X2) = X2 + 2
[0] = 2
[cons](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[nil] = 2
[pair](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[s](X) = X + 2
[tt] = 2
[U191#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U192#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U201#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U202#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3
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[U204#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
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[U245#](X1,X2) = X1 + 2.X2
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[U255#](X1,X2) = X1 + 2.X2
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[U52#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U53#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
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[U61#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U62#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U71#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U72#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2
[U81#](X1,X2) = X1 + 2.X2
[U82#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U91#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U92#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[ISLNAT](X) = 2.X + 2
[ISNATURAL](X) = 2.X + 2
[ISPLNAT](X) = 2.X + 2

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U192#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U201#(tt,V1,V2) -> U202#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202#(tt,V1,V2) -> U203#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> U204#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> U205#(isNatural(V1),V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U205#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U71#(tt,V1) -> U72#(isNaturalKind(V1),V1)
 U72#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> U71#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> U201#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(s(V1)) -> U191#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 U201#(tt,V1,V2) -> U202#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202#(tt,V1,V2) -> U203#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> U204#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> U205#(isNatural(V1),V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U205#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U71#(tt,V1) -> U72#(isNaturalKind(V1),V1)
 U72#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> U71#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> U201#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
->->-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
->->-> Unhiding rules:
 Empty

Problem 1.2: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 U201#(tt,V1,V2) -> U202#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202#(tt,V1,V2) -> U203#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> U204#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> U205#(isNatural(V1),V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U205#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U71#(tt,V1) -> U72#(isNaturalKind(V1),V1)
 U72#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> U71#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> U201#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
-> Usable rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U131(tt) -> tt
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U211(tt) -> tt
 U221(tt) -> tt
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[U101](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2
[U102](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2
[U103](X1,X2,X3) = 2
[U104](X1,X2,X3) = 2
[U105](X1,X2) = 2
[U106](X) = 2
[U111](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U112](X) = X + 2
[U121](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U122](X) = X + 2
[U131](X) = 2
[U141](X) = 2
[U151](X) = 2
[U161](X) = X
[U171](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U172](X) = 2
[U181](X1,X2) = X1 + 2
[U182](X1,X2) = 2
[U183](X) = 2
[U191](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U192](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U193](X) = 2
[U201](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U202](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U203](X1,X2,X3) = X1 + 2
[U204](X1,X2,X3) = 2
[U205](X1,X2) = 2
[U206](X) = 2
[U211](X) = X + 2
[U221](X) = X + 2
[U231](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U232](X) = 2
[U241](X1,X2,X3) = X1 + 2.X3 + 2
[U242](X1,X2,X3) = 2.X3 + 2
[U243](X1,X2,X3) = 2.X3 + 2
[U244](X1,X2,X3) = X1
[U245](X1,X2) = 2
[U246](X) = 2
[U251](X1,X2,X3) = X1 + X2 + 2.X3 + 2
[U252](X1,X2,X3) = X1 + 2.X3 + 2
[U253](X1,X2,X3) = X1 + 2
[U254](X1,X2,X3) = 2
[U255](X1,X2) = 2
[U256](X) = 2
[U261](X1,X2) = 2
[U262](X) = 2
[U271](X1,X2) = 2
[U272](X) = 2
[U41](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U42](X1,X2,X3) = X1 + X2 + 2.X3 + 2
[U43](X1,X2,X3) = X2 + 2.X3 + 2
[U44](X1,X2,X3) = X1 + X2 + 1
[U45](X1,X2) = 2
[U46](X) = 2
[U51](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U52](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U53](X1,X2,X3) = X1 + 2
[U54](X1,X2,X3) = 2
[U55](X1,X2) = 2
[U56](X) = 2
[U61](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U62](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U63](X) = 2.X + 2
[U71](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U72](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U73](X) = 2
[U81](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U82](X1,X2) = 2.X1 + 1
[U83](X) = 2
[U91](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U92](X1,X2) = X1 + 2
[U93](X) = 2
[afterNth](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[fst](X) = 2.X + 2
[head](X) = 2.X + 2
[isLNat](X) = 2.X + 2
[isLNatKind](X) = 2.X + 1
[isNatural](X) = 2.X + 2
[isNaturalKind](X) = X + 1
[isPLNat](X) = X + 2
[isPLNatKind](X) = 2
[natsFrom](X) = 2.X + 2
[sel](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[snd](X) = 2.X + 2
[splitAt](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[tail](X) = 2.X + 1
[take](X1,X2) = 2.X1 + 2
[0] = 1
[cons](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[nil] = 2
[pair](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[s](X) = 2.X + 2
[tt] = 2
[U201#](X1,X2,X3) = X1 + X2 + 2.X3 + 1
[U202#](X1,X2,X3) = X2 + 2.X3 + 2
[U203#](X1,X2,X3) = X2 + 2.X3 + 2
[U204#](X1,X2,X3) = X2 + 2.X3 + 2
[U205#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U241#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 1
[U242#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U243#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U244#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U245#](X1,X2) = X1 + 2.X2
[U251#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U252#](X1,X2,X3) = X1 + X2 + 2.X3 + 1
[U253#](X1,X2,X3) = X2 + 2.X3 + 2
[U254#](X1,X2,X3) = X2 + 2.X3 + 2
[U255#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U41#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U42#](X1,X2,X3) = X1 + X2 + 2.X3 + 2
[U43#](X1,X2,X3) = X2 + 2.X3 + 2
[U44#](X1,X2,X3) = X2 + 2.X3
[U45#](X1,X2) = 2.X2
[U51#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3
[U52#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U53#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U54#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U55#](X1,X2) = X1 + 2.X2
[U61#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2
[U62#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2
[U71#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U72#](X1,X2) = X1 + X2 + 2
[U81#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U82#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2
[U91#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U92#](X1,X2) = 2.X2
[ISLNAT](X) = 2.X
[ISNATURAL](X) = X
[ISPLNAT](X) = 2.X + 2

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U202#(tt,V1,V2) -> U203#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203#(tt,V1,V2) -> U204#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> U205#(isNatural(V1),V2)
 U204#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U205#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> ISNATURAL(V1)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U71#(tt,V1) -> U72#(isNaturalKind(V1),V1)
 U72#(tt,V1) -> ISNATURAL(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(natsFrom(V1)) -> U71#(isNaturalKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISNATURAL(sel(V1,V2)) -> U201#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
->->-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
->->-> Unhiding rules:
 Empty

Problem 1.2: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 U241#(tt,V1,V2) -> U242#(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
-> Usable rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U131(tt) -> tt
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U211(tt) -> tt
 U221(tt) -> tt
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[U101](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U102](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U103](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U104](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2
[U105](X1,X2) = X1 + 2
[U106](X) = 2
[U111](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U112](X) = X + 2
[U121](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U122](X) = X + 2
[U131](X) = X + 2
[U141](X) = X + 1
[U151](X) = X + 1
[U161](X) = X
[U171](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U172](X) = X
[U181](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U182](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U183](X) = 2
[U191](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U192](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2
[U193](X) = X + 2
[U201](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U202](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3
[U203](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U204](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U205](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U206](X) = X + 1
[U211](X) = 2
[U221](X) = 2
[U231](X1,X2) = 2
[U232](X) = 2
[U241](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U242](X1,X2,X3) = X1 + 2.X3 + 2
[U243](X1,X2,X3) = 2.X3 + 2
[U244](X1,X2,X3) = X1
[U245](X1,X2) = 2
[U246](X) = 2
[U251](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U252](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 1
[U253](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2
[U254](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2
[U255](X1,X2) = X1 + 2
[U256](X) = 2
[U261](X1,X2) = 2
[U262](X) = 2
[U271](X1,X2) = 2
[U272](X) = 2
[U41](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U42](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U43](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2
[U44](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2
[U45](X1,X2) = X1 + 2
[U46](X) = 2
[U51](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U52](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U53](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2
[U54](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2
[U55](X1,X2) = X1 + 2
[U56](X) = 2
[U61](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U62](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U63](X) = X + 2
[U71](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U72](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U73](X) = X + 2
[U81](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U82](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U83](X) = X + 2
[U91](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U92](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U93](X) = X
[afterNth](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[fst](X) = 2.X + 2
[head](X) = 2.X + 1
[isLNat](X) = 2.X + 2
[isLNatKind](X) = 2.X + 2
[isNatural](X) = 2.X
[isNaturalKind](X) = 2
[isPLNat](X) = 2.X + 2
[isPLNatKind](X) = 2
[natsFrom](X) = 2.X + 2
[sel](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2
[snd](X) = X + 2
[splitAt](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2
[tail](X) = X
[take](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[0] = 2
[cons](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[nil] = 1
[pair](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[s](X) = 2.X + 2
[tt] = 2
[U241#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U242#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U243#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U244#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U245#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U251#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 1
[U252#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 1
[U253#](X1,X2,X3) = 2.X3 + 2
[U254#](X1,X2,X3) = 2.X3 + 2
[U255#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U41#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U42#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U43#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U44#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U45#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U51#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U52#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U53#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U54#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U55#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U61#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U62#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U81#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U82#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U91#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U92#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[ISLNAT](X) = 2.X + 2
[ISPLNAT](X) = 2.X + 2

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U242#(tt,V1,V2) -> U243#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243#(tt,V1,V2) -> U244#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> U245#(isLNat(V1),V2)
 U244#(tt,V1,V2) -> ISLNAT(V1)
 U245#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(pair(V1,V2)) -> U241#(isLNatKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
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 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
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 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
->->-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
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 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
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 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
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 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
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 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
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 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
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 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
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 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
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 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
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 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
->->-> Unhiding rules:
 Empty

Problem 1.2: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 U251#(tt,V1,V2) -> U252#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
-> Usable rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U131(tt) -> tt
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U211(tt) -> tt
 U221(tt) -> tt
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[U101](X1,X2,X3) = X1 + 2
[U102](X1,X2,X3) = 2
[U103](X1,X2,X3) = 2
[U104](X1,X2,X3) = X1
[U105](X1,X2) = 2
[U106](X) = 2
[U111](X1,X2) = 2
[U112](X) = 2
[U121](X1,X2) = 2
[U122](X) = 2
[U131](X) = 2
[U141](X) = 2
[U151](X) = 2
[U161](X) = 2
[U171](X1,X2) = 2
[U172](X) = X
[U181](X1,X2) = X1 + 2
[U182](X1,X2) = X1 + 2
[U183](X) = 2
[U191](X1,X2) = 2.X1
[U192](X1,X2) = X1
[U193](X) = 2
[U201](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3
[U202](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3
[U203](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U204](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U205](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U206](X) = X
[U211](X) = X
[U221](X) = 2
[U231](X1,X2) = X1
[U232](X) = 2
[U241](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 1
[U242](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3
[U243](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U244](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3
[U245](X1,X2) = X1 + 2.X2
[U246](X) = X
[U251](X1,X2,X3) = X1 + 2.X3 + 2
[U252](X1,X2,X3) = X1 + 2.X3 + 2
[U253](X1,X2,X3) = X1 + X3 + 2
[U254](X1,X2,X3) = 2
[U255](X1,X2) = 2
[U256](X) = 2
[U261](X1,X2) = 2.X1 + X2
[U262](X) = 2.X
[U271](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U272](X) = X + 2
[U41](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U42](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U43](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U44](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3
[U45](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 1
[U46](X) = X + 1
[U51](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U52](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U53](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U54](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 1
[U55](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U56](X) = X + 1
[U61](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U62](X1,X2) = 2
[U63](X) = 2
[U71](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2
[U72](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2
[U73](X) = X + 2
[U81](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U82](X1,X2) = X1 + 2
[U83](X) = 2
[U91](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U92](X1,X2) = 2
[U93](X) = 2
[afterNth](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2
[fst](X) = 2.X + 2
[head](X) = 2
[isLNat](X) = 2.X + 2
[isLNatKind](X) = 2
[isNatural](X) = 2.X
[isNaturalKind](X) = 2
[isPLNat](X) = 2.X + 2
[isPLNatKind](X) = 2.X
[natsFrom](X) = 2.X + 2
[sel](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[snd](X) = 2.X + 2
[splitAt](X1,X2) = X2 + 2
[tail](X) = X + 2
[take](X1,X2) = 2
[0] = 1
[cons](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[nil] = 2
[pair](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[s](X) = 2.X + 2
[tt] = 2
[U251#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U252#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 1
[U253#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 1
[U254#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 1
[U255#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U41#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U42#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U43#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U44#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3
[U45#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U51#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U52#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U53#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U54#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U55#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U61#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U62#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U81#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U82#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U91#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U92#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 1
[ISLNAT](X) = 2.X + 2
[ISPLNAT](X) = 2.X + 2

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U252#(tt,V1,V2) -> U253#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253#(tt,V1,V2) -> U254#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254#(tt,V1,V2) -> U255#(isNatural(V1),V2)
 U255#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U61#(tt,V1) -> U62#(isPLNatKind(V1),V1)
 U62#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U81#(tt,V1) -> U82#(isPLNatKind(V1),V1)
 U82#(tt,V1) -> ISPLNAT(V1)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(fst(V1)) -> U61#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(snd(V1)) -> U81#(isPLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISPLNAT(splitAt(V1,V2)) -> U251#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
->->-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
->->-> Unhiding rules:
 Empty

Problem 1.2: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 U41#(tt,V1,V2) -> U42#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
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 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
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 isNaturalKind(0) -> tt
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 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
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 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
-> Usable rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U131(tt) -> tt
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U211(tt) -> tt
 U221(tt) -> tt
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
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 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
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 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
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 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
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 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
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 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[U101](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U102](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U103](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U104](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U105](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 1
[U106](X) = X + 1
[U111](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U112](X) = 2.X + 2
[U121](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U122](X) = 2.X + 1
[U131](X) = 2
[U141](X) = 2
[U151](X) = X
[U161](X) = X + 1
[U171](X1,X2) = X1 + 2.X2
[U172](X) = 2.X + 1
[U181](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U182](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U183](X) = X
[U191](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2
[U192](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 1
[U193](X) = X + 2
[U201](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3
[U202](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3
[U203](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + X3 + 2
[U204](X1,X2,X3) = 2.X2 + X3 + 2
[U205](X1,X2) = X1 + 2
[U206](X) = 2
[U211](X) = 2
[U221](X) = X
[U231](X1,X2) = 2
[U232](X) = 2
[U241](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U242](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U243](X1,X2,X3) = X1 + X3 + 2
[U244](X1,X2,X3) = X1 + 2
[U245](X1,X2) = 2
[U246](X) = 2
[U251](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U252](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U253](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U254](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U255](X1,X2) = X1 + 2
[U256](X) = 2
[U261](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U262](X) = X + 1
[U271](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U272](X) = 2
[U41](X1,X2,X3) = X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U42](X1,X2,X3) = X1 + X2 + 2.X3 + 2
[U43](X1,X2,X3) = X1 + X2 + X3 + 2
[U44](X1,X2,X3) = X1 + X2 + 2
[U45](X1,X2) = 2
[U46](X) = 2
[U51](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U52](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 1
[U53](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U54](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2
[U55](X1,X2) = X1 + 2
[U56](X) = 2
[U61](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 1
[U62](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U63](X) = X
[U71](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U72](X1,X2) = X1 + 2.X2
[U73](X) = X + 2
[U81](X1,X2) = X1 + 2.X2
[U82](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U83](X) = X
[U91](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U92](X1,X2) = X1 + X2 + 2
[U93](X) = 2
[afterNth](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[fst](X) = 2.X + 2
[head](X) = 2.X + 2
[isLNat](X) = 2.X + 2
[isLNatKind](X) = X
[isNatural](X) = 2.X
[isNaturalKind](X) = 2
[isPLNat](X) = 2.X + 2
[isPLNatKind](X) = 2.X + 2
[natsFrom](X) = 2.X + 2
[sel](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[snd](X) = 2.X + 2
[splitAt](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[tail](X) = 2.X + 2
[take](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[0] = 2
[cons](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[nil] = 2
[pair](X1,X2) = 2.X1 + X2 + 2
[s](X) = 2.X + 2
[tt] = 2
[U41#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U42#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 1
[U43#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U44#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 2
[U45#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U51#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 1
[U52#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 1
[U53#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 1
[U54#](X1,X2,X3) = 2.X2 + 2.X3 + 1
[U55#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 1
[U91#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U92#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[ISLNAT](X) = 2.X + 2

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U42#(tt,V1,V2) -> U43#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43#(tt,V1,V2) -> U44#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44#(tt,V1,V2) -> U45#(isNatural(V1),V2)
 U45#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(afterNth(V1,V2)) -> U41#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
->->-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
->->-> Unhiding rules:
 Empty

Problem 1.2: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 U51#(tt,V1,V2) -> U52#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
-> Usable rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U131(tt) -> tt
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U211(tt) -> tt
 U221(tt) -> tt
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[U101](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U102](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2
[U103](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2
[U104](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2
[U105](X1,X2) = 2
[U106](X) = 2
[U111](X1,X2) = 2
[U112](X) = X
[U121](X1,X2) = 2
[U122](X) = X
[U131](X) = 2
[U141](X) = 2
[U151](X) = 2
[U161](X) = 2
[U171](X1,X2) = 2
[U172](X) = X
[U181](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U182](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U183](X) = 2
[U191](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U192](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U193](X) = 2
[U201](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U202](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U203](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U204](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U205](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U206](X) = 2
[U211](X) = 2
[U221](X) = X + 2
[U231](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U232](X) = 2.X
[U241](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U242](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U243](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3
[U244](X1,X2,X3) = 2.X2 + X3 + 2
[U245](X1,X2) = X1 + X2
[U246](X) = 2
[U251](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U252](X1,X2,X3) = X1 + X2 + 2.X3 + 2
[U253](X1,X2,X3) = 2.X1 + X2 + 2.X3
[U254](X1,X2,X3) = X1 + X2 + 2.X3 + 2
[U255](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U256](X) = X
[U261](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[U262](X) = X + 1
[U271](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U272](X) = X
[U41](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U42](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U43](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U44](X1,X2,X3) = 2.X1 + X3 + 2
[U45](X1,X2) = X2 + 2
[U46](X) = 2
[U51](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U52](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U53](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3 + 2
[U54](X1,X2,X3) = 2.X3 + 2
[U55](X1,X2) = 2
[U56](X) = 2
[U61](X1,X2) = 2
[U62](X1,X2) = 2
[U63](X) = 2
[U71](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U72](X1,X2) = 2.X1 + 2
[U73](X) = 2
[U81](X1,X2) = 2
[U82](X1,X2) = 2
[U83](X) = 2
[U91](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 1
[U92](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 1
[U93](X) = X + 2
[afterNth](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[fst](X) = 2
[head](X) = 2.X + 2
[isLNat](X) = 2.X + 2
[isLNatKind](X) = 2
[isNatural](X) = 2.X + 2
[isNaturalKind](X) = X + 2
[isPLNat](X) = 2.X + 2
[isPLNatKind](X) = 2.X + 2
[natsFrom](X) = 2.X + 2
[sel](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[snd](X) = 2
[splitAt](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[tail](X) = 2.X + 2
[take](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[0] = 1
[cons](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[nil] = 1
[pair](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[s](X) = 2.X + 2
[tt] = 2
[U51#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X2 + 2.X3 + 2
[U52#](X1,X2,X3) = 2.X1 + 2.X3
[U53#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X3 + 2
[U54#](X1,X2,X3) = X1 + 2.X3 + 2
[U55#](X1,X2) = 2.X2 + 2
[U91#](X1,X2) = 2.X1 + 2.X2 + 2
[U92#](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[ISLNAT](X) = 2.X + 2

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U52#(tt,V1,V2) -> U53#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53#(tt,V1,V2) -> U54#(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54#(tt,V1,V2) -> U55#(isNatural(V1),V2)
 U55#(tt,V2) -> ISLNAT(V2)
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
 ISLNAT(cons(V1,V2)) -> U51#(isNaturalKind(V1),V1,V2)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
->->-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
->->-> Unhiding rules:
 Empty

Problem 1.2: 

SubNColl Processor:
-> Pairs:
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
 ISLNAT(tail(V1)) -> U91#(isLNatKind(V1),V1)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
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 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Projection:
 pi(U91#) = 2
 pi(U92#) = 2
 pi(ISLNAT) = 1

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U91#(tt,V1) -> U92#(isLNatKind(V1),V1)
 U92#(tt,V1) -> ISLNAT(V1)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
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 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.3: 

SubNColl Processor:
-> Pairs:
 U281#(tt,N) -> U282#(isNaturalKind(N),N)
 U282#(tt,N) -> N
 NATSFROM(N) -> U281#(isNatural(N),N)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 natsFrom(s(N)) -> NATSFROM(s(N))
->Projection:
 pi(U281#) = 2
 pi(U282#) = 2
 pi(NATSFROM) = 1

Problem 1.3: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U281#(tt,N) -> U282#(isNaturalKind(N),N)
 U282#(tt,N) -> N
 NATSFROM(N) -> U281#(isNatural(N),N)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.4: 

SubNColl Processor:
-> Pairs:
 U321#(tt,N,X,XS) -> U322#(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322#(tt,N,X,XS) -> U323#(isNatural(X),N,X,XS)
 U323#(tt,N,X,XS) -> U324#(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324#(tt,N,X,XS) -> U325#(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325#(tt,N,X,XS) -> U326#(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326#(tt,N,X,XS) -> SPLITAT(N,XS)
 SPLITAT(s(N),cons(X,XS)) -> U321#(isNatural(N),N,X,XS)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Projection:
 pi(U321#) = 2
 pi(U322#) = 2
 pi(U323#) = 2
 pi(U324#) = 2
 pi(U325#) = 2
 pi(U326#) = 2
 pi(SPLITAT) = 1

Problem 1.4: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U321#(tt,N,X,XS) -> U322#(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322#(tt,N,X,XS) -> U323#(isNatural(X),N,X,XS)
 U323#(tt,N,X,XS) -> U324#(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324#(tt,N,X,XS) -> U325#(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325#(tt,N,X,XS) -> U326#(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326#(tt,N,X,XS) -> SPLITAT(N,XS)
-> Rules:
 U101(tt,V1,V2) -> U102(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U102(tt,V1,V2) -> U103(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U103(tt,V1,V2) -> U104(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U104(tt,V1,V2) -> U105(isNatural(V1),V2)
 U105(tt,V2) -> U106(isLNat(V2))
 U106(tt) -> tt
 U11(tt,N,XS) -> U12(isNaturalKind(N),N,XS)
 U111(tt,V2) -> U112(isLNatKind(V2))
 U112(tt) -> tt
 U12(tt,N,XS) -> U13(isLNat(XS),N,XS)
 U121(tt,V2) -> U122(isLNatKind(V2))
 U122(tt) -> tt
 U13(tt,N,XS) -> U14(isLNatKind(XS),N,XS)
 U131(tt) -> tt
 U14(tt,N,XS) -> snd(splitAt(N,XS))
 U141(tt) -> tt
 U151(tt) -> tt
 U161(tt) -> tt
 U171(tt,V2) -> U172(isLNatKind(V2))
 U172(tt) -> tt
 U181(tt,V1) -> U182(isLNatKind(V1),V1)
 U182(tt,V1) -> U183(isLNat(V1))
 U183(tt) -> tt
 U191(tt,V1) -> U192(isNaturalKind(V1),V1)
 U192(tt,V1) -> U193(isNatural(V1))
 U193(tt) -> tt
 U201(tt,V1,V2) -> U202(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U202(tt,V1,V2) -> U203(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U203(tt,V1,V2) -> U204(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U204(tt,V1,V2) -> U205(isNatural(V1),V2)
 U205(tt,V2) -> U206(isLNat(V2))
 U206(tt) -> tt
 U21(tt,X,Y) -> U22(isLNatKind(X),X,Y)
 U211(tt) -> tt
 U22(tt,X,Y) -> U23(isLNat(Y),X,Y)
 U221(tt) -> tt
 U23(tt,X,Y) -> U24(isLNatKind(Y),X)
 U231(tt,V2) -> U232(isLNatKind(V2))
 U232(tt) -> tt
 U24(tt,X) -> X
 U241(tt,V1,V2) -> U242(isLNatKind(V1),V1,V2)
 U242(tt,V1,V2) -> U243(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U243(tt,V1,V2) -> U244(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U244(tt,V1,V2) -> U245(isLNat(V1),V2)
 U245(tt,V2) -> U246(isLNat(V2))
 U246(tt) -> tt
 U251(tt,V1,V2) -> U252(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U252(tt,V1,V2) -> U253(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U253(tt,V1,V2) -> U254(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U254(tt,V1,V2) -> U255(isNatural(V1),V2)
 U255(tt,V2) -> U256(isLNat(V2))
 U256(tt) -> tt
 U261(tt,V2) -> U262(isLNatKind(V2))
 U262(tt) -> tt
 U271(tt,V2) -> U272(isLNatKind(V2))
 U272(tt) -> tt
 U281(tt,N) -> U282(isNaturalKind(N),N)
 U282(tt,N) -> cons(N,natsFrom(s(N)))
 U291(tt,N,XS) -> U292(isNaturalKind(N),N,XS)
 U292(tt,N,XS) -> U293(isLNat(XS),N,XS)
 U293(tt,N,XS) -> U294(isLNatKind(XS),N,XS)
 U294(tt,N,XS) -> head(afterNth(N,XS))
 U301(tt,X,Y) -> U302(isLNatKind(X),Y)
 U302(tt,Y) -> U303(isLNat(Y),Y)
 U303(tt,Y) -> U304(isLNatKind(Y),Y)
 U304(tt,Y) -> Y
 U31(tt,N,XS) -> U32(isNaturalKind(N),N,XS)
 U311(tt,XS) -> U312(isLNatKind(XS),XS)
 U312(tt,XS) -> pair(nil,XS)
 U32(tt,N,XS) -> U33(isLNat(XS),N,XS)
 U321(tt,N,X,XS) -> U322(isNaturalKind(N),N,X,XS)
 U322(tt,N,X,XS) -> U323(isNatural(X),N,X,XS)
 U323(tt,N,X,XS) -> U324(isNaturalKind(X),N,X,XS)
 U324(tt,N,X,XS) -> U325(isLNat(XS),N,X,XS)
 U325(tt,N,X,XS) -> U326(isLNatKind(XS),N,X,XS)
 U326(tt,N,X,XS) -> U327(splitAt(N,XS),X)
 U327(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(X,YS),ZS)
 U33(tt,N,XS) -> U34(isLNatKind(XS),N)
 U331(tt,N,XS) -> U332(isNaturalKind(N),XS)
 U332(tt,XS) -> U333(isLNat(XS),XS)
 U333(tt,XS) -> U334(isLNatKind(XS),XS)
 U334(tt,XS) -> XS
 U34(tt,N) -> N
 U341(tt,N,XS) -> U342(isNaturalKind(N),N,XS)
 U342(tt,N,XS) -> U343(isLNat(XS),N,XS)
 U343(tt,N,XS) -> U344(isLNatKind(XS),N,XS)
 U344(tt,N,XS) -> fst(splitAt(N,XS))
 U41(tt,V1,V2) -> U42(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U42(tt,V1,V2) -> U43(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U43(tt,V1,V2) -> U44(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U44(tt,V1,V2) -> U45(isNatural(V1),V2)
 U45(tt,V2) -> U46(isLNat(V2))
 U46(tt) -> tt
 U51(tt,V1,V2) -> U52(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 U52(tt,V1,V2) -> U53(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U53(tt,V1,V2) -> U54(isLNatKind(V2),V1,V2)
 U54(tt,V1,V2) -> U55(isNatural(V1),V2)
 U55(tt,V2) -> U56(isLNat(V2))
 U56(tt) -> tt
 U61(tt,V1) -> U62(isPLNatKind(V1),V1)
 U62(tt,V1) -> U63(isPLNat(V1))
 U63(tt) -> tt
 U71(tt,V1) -> U72(isNaturalKind(V1),V1)
 U72(tt,V1) -> U73(isNatural(V1))
 U73(tt) -> tt
 U81(tt,V1) -> U82(isPLNatKind(V1),V1)
 U82(tt,V1) -> U83(isPLNat(V1))
 U83(tt) -> tt
 U91(tt,V1) -> U92(isLNatKind(V1),V1)
 U92(tt,V1) -> U93(isLNat(V1))
 U93(tt) -> tt
 afterNth(N,XS) -> U11(isNatural(N),N,XS)
 fst(pair(X,Y)) -> U21(isLNat(X),X,Y)
 head(cons(N,XS)) -> U31(isNatural(N),N,XS)
 isLNat(afterNth(V1,V2)) -> U41(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(fst(V1)) -> U61(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(natsFrom(V1)) -> U71(isNaturalKind(V1),V1)
 isLNat(snd(V1)) -> U81(isPLNatKind(V1),V1)
 isLNat(tail(V1)) -> U91(isLNatKind(V1),V1)
 isLNat(take(V1,V2)) -> U101(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(cons(V1,V2)) -> U51(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isLNat(nil) -> tt
 isLNatKind(afterNth(V1,V2)) -> U111(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(fst(V1)) -> U131(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(natsFrom(V1)) -> U141(isNaturalKind(V1))
 isLNatKind(snd(V1)) -> U151(isPLNatKind(V1))
 isLNatKind(tail(V1)) -> U161(isLNatKind(V1))
 isLNatKind(take(V1,V2)) -> U171(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(cons(V1,V2)) -> U121(isNaturalKind(V1),V2)
 isLNatKind(nil) -> tt
 isNatural(head(V1)) -> U181(isLNatKind(V1),V1)
 isNatural(sel(V1,V2)) -> U201(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isNatural(0) -> tt
 isNatural(s(V1)) -> U191(isNaturalKind(V1),V1)
 isNaturalKind(head(V1)) -> U211(isLNatKind(V1))
 isNaturalKind(sel(V1,V2)) -> U231(isNaturalKind(V1),V2)
 isNaturalKind(0) -> tt
 isNaturalKind(s(V1)) -> U221(isNaturalKind(V1))
 isPLNat(splitAt(V1,V2)) -> U251(isNaturalKind(V1),V1,V2)
 isPLNat(pair(V1,V2)) -> U241(isLNatKind(V1),V1,V2)
 isPLNatKind(splitAt(V1,V2)) -> U271(isNaturalKind(V1),V2)
 isPLNatKind(pair(V1,V2)) -> U261(isLNatKind(V1),V2)
 natsFrom(N) -> U281(isNatural(N),N)
 sel(N,XS) -> U291(isNatural(N),N,XS)
 snd(pair(X,Y)) -> U301(isLNat(X),X,Y)
 splitAt(0,XS) -> U311(isLNat(XS),XS)
 splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U321(isNatural(N),N,X,XS)
 tail(cons(N,XS)) -> U331(isNatural(N),N,XS)
 take(N,XS) -> U341(isNatural(N),N,XS)
-> Unhiding rules:
 Empty
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.